Función Schur-convexa

En matemáticas, una función de Schur-convexa, también conocida como S-convex, función isotónica y función de preservación de orden es una función $f:{ℝ}^d\to ℝ$ para todo $x,y\in {ℝ}^d$ tal que $x$ está mayorizado por $y$, uno tiene eso $f(x)\le f(y)$. El nombre proviene de Issai Schur, Schur-convex funciones se utilizan en el estudio de la especialización. Cada función que es convexa y simétrica también es Schur-convexa. La implicación opuesta no es verdadera, pero todas las funciones de Schur-convex son simétricas (bajo permutaciones de los argumentos). Asimismo, una función f es 'Schur-cóncava' si su negativo, - f , es Schur-convexa.

Criterio de Schur-Ostrowski

Si f es simétrica y todas las primeras derivadas parciales existen, entonces f es Schur-convexa si y solo si

$(x_i-x_j)(\frac{\partial f}{\partial x_i}-\frac{\partial f}{\partial x_j})\ge 0$ for all $x\in {ℝ}^d$

se mantiene para todo 1≤i≠j≤d.

Ejemplos

• $f(x)=\min (x)$ es Schur-cóncavo mientras $f(x)=\max (x)$ s Schur-convexo. Esto se puede ver directamente desde la definición.
• La función de entropía de Shannon $\sum _{i=1}^d{P}_i\cdot {\log }_2\frac{1}{P_i}$ es Schur-cóncavo.
• La función de entropía de Rényi también es Schur-cóncava.
• $\sum _{i=1}^d{x}_i^k,k\ge 1$ es schur-convexa.
• La función $f(x)=\prod _{i=1}^n{x}_i$ es Schur-cóncava, cuando asumimos que todo $x_i>0$. De la misma manera, todas las funciones simétricas elementales son Schur-cóncavas, cuando $x_i>0$.
• Una interpretación natural de la mayorización es que si $x\succ y$ entonces $x$ es menos esparcido que $y$. Por lo tanto, es natural preguntar si las medidas estadísticas de variabilidad son Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es.