Función Xi de Riemann

Función xi de Riemann $\xi (s)$ en el plano complejo. El color de un punto $s$ codifica el valor de la función. Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

En matemática, la la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann, y es definida así por la particularidad de tener una ecuación funcional simple. La función se llama así en honor a Bernhard Riemann.

Definición

La función xi (minúscula) de Riemann está definida como:

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s).$

La ecuación funcional (o fórmula de reflexión) para la función xi es

$\xi (1-s)=\xi (s).$

La función Xi (mayúscula) está definida como

$\mathrm{\Xi }(t)={\pi }^{-\frac{\frac{1}{2}+it}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\frac{1}{2}+it}{2}\right)\zeta (\frac{1}{2}+it)$

y también obedece a la misma ecuación funcional.

Valores

La fórmula general para enteros pares es

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n^2-n)(n-1)!}{(2n)!}.$

Por ejemplo:

$\xi (2)=\frac{\pi }{6}.$

Representación en forma de serie

La función xi tiene la siguiente expansión en forma de serie:

$\frac{d}{dz}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n.$

Esta expansión juega particularmente un papel importante en el criterio de Li, en el cual declara que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener ${\lambda }_n>0$ para todo número positivo n.

Hipótesis de Riemann

Como se ha señalado por varios trabajos de Alain Connes y otros, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la función xi de Riemann es el determinante funcional del operador

$-D^2+f(x)$

con

$f^{-1}(x)=\sqrt{(}4\pi )\frac{d^{1/2}N(x)}{d{x}^{1/2}}$ así,

$\frac{\xi (1/2+iz)}{\xi (1/2)}=\frac{\det (H-z^2)}{\det (H)}$,

cuya conjetura está apoyada mediante varias evaluaciones numéricas.

Referencias

• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Cita publicación
• Plantilla:Planetmath