Función de Dawson

La función de Dawson, $F(x)=D_{+}(x)$, alrededor del origen

En matemáticas, la función de Dawson o integral de Dawson (llamada así por H. G. Dawson) es la transformada del seno de un lado de Fourier-Laplace, de la función gaussiana.

Definición

La función de Dawson puede definirse como

$D_{+}(x)=e^{-x^2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{t^2}dt$,

también denotada por F(x) o D(x), o alternativamente como

$D_{-}(x)=e^{x^2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt$.

La función de Dawson es la transformada del seno de Fourier-Laplace de un solo lado, de la función gaussiana,

$D_{+}(x)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2/4}\sin (xt)dt.$

Está estrechamente relacionada con la función error erf, mediante

$D_{+}(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-x^2}\mathrm{erfi}(x)=-\frac{i\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-x^2}\mathrm{erf}(ix)$

donde erfi es la función error imaginaria, erfi(x) = −i erf(ix). Similarmente,

$D_{-}(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{x^2}\mathrm{erf}(x)$

en términos de la función error real, erf.

En términos tanto de erfi como de la función de Faddeeva w(z), la función de Dawson se puede extender al plano complejo completo:

$F(z)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-z^2}\mathrm{erfi}(z)=\frac{i\sqrt{\pi }}{2}[e^{-z^2}-w(z)],$

lo que se simplifica a:

$D_{+}(x)=F(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{Im}[w(x)]$

$D_{-}(x)=iF(-ix)=-\frac{\sqrt{\pi }}{2}[e^{x^2}-w(-ix)]$

para x real.

Para |x| cercano a cero, 1 = F(x) ≈ x.
Para |x| grande, 1 = F(x) ≈ 1/(2x).
Más específicamente, cerca del origen tiene la expansión por series

$F(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{2}^k}{(2k+1)!!}{x}^{2k+1}=x-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{4}{15}{x}^5-\cdots ,$

mientras que para x grandes tiene la expansión asintótica

$F(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}{x}^{2k+1}}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^3}+\frac{3}{8x^5}+\cdots ,$

donde n!! es el doble factorial de n.

F(x) satisface la ecuación diferencial

$\frac{dF}{dx}+2xF=1$

de condición inicial F(0) = 0. Consecuentemente, tiene extremos para

$F(x)=\frac{1}{2x},$

lo que resulta en x = ±0.92413887… (Plantilla:OEIS2C), F(x) = ±0.54104422… (Plantilla:OEIS2C).

Los puntos de inflexión siguen para

$F(x)=\frac{x}{2x^2-1},$

lo que resulta en x = ±1.50197526… (Plantilla:OEIS2C), F(x) = ±0.42768661… (Plantilla:OEIS2C). (Aparte del punto de inflexión trivial en x = 0, F(x) = 0).

Relación con la transformada de Hilbert del gaussiano

La transformada de Hilbert del gaussiano se define como:

$H(y)={\pi }^{-1}\mathrm{P.V.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x^2}}{y-x}dx$

P.V. denota el valor principal de Cauchy, y nos restringimos a $y$ real. $H(y)$ se puede relacionar a la función de Dawson de la siguiente forma: Dentro de una integral de valor principal, podemos tratar a $1/u$ como una función generalizada o distribución, y usamos la representación de Fourier

$\frac{1}{u}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\sin ku=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\mathrm{Im}{e}^{iku}$.

Con $1/u=1/(y-x)$, usamos la representación exponencial de $\sin (ku)$ y completamos cuadrado con respecto a $x$ para hallar

$\pi H(y)=\mathrm{Im}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\exp [-k^2/4+iky]\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\exp [-(x+ik/2{)}^2]$.

Podemos cambiar la integral de $x$ al eje real, y nos da ${\pi }^{1/2}$. Luego

${\pi }^{1/2}H(y)=\mathrm{Im}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\exp [-k^2/4+iky]$.

Completando cuadrado respecto a $k$ se obtiene

${\pi }^{1/2}H(y)=e^{-y^2}\mathrm{Im}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\exp [-(k/2-iy{)}^2]$.

Cambiamos de variable $u=ik/2+y$:

${\pi }^{1/2}H(y)=-2e^{-y^2}\mathrm{Im}i\underset{y}{\overset{i\mathrm{\infty }+y}{\int }}du{e}^{u^2}$.

La integral se puede hacer como una integral de contorno alrededor de un rectángulo en el plano complejo. Tomando la parte imaginaria del resultado, resulta

$H(y)=2{\pi }^{-1/2}F(y)$

donde $F(y)$ es la función de Dawson definida arriba.

La transformada de Hilbert de $x^{2n}{e}^{-x^2}$ también está relacionada con la función de Dawson. Puede verse con la técnica de diferenciar dentro del signo de integración. Sea

$H_n={\pi }^{-1}\mathrm{P.V.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n}{e}^{-x^2}}{y-x}dx$

se introduce

$H_a={\pi }^{-1}\mathrm{P.V.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-a{x}^2}}{y-x}dx$.

La derivada número n es

$\frac{{\partial }^n{H}_a}{\partial a^n}=(-1{)}^n{\pi }^{-1}\mathrm{P.V.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n}{e}^{-a{x}^2}}{y-x}dx$

Por tanto, se halla que

${H_n=(-1{)}^n\frac{{\partial }^n{H}_a}{\partial a^n}|}_{a=1}$

Primero se realizan las derivadas, luego el resultado evaluado en $a=1$. Un cambio de variable también da que $H_a=2{\pi }^{-1/2}F(y\sqrt{a})$. Como $F^{\prime }(y)=1-2yF(y)$, se puede escribir $H_n=P_1(y)+P_2(y)F(y)$ donde $P_1$ y $P_2$ son polinomios. Por ejemplo, $H_1=-{\pi }^{-1/2}y+2{\pi }^{-1/2}{y}^{2}F(y)$. En forma alternativa, $H_n$ se puede calcular usando la relación de recurrencia (para $n\ge 0$)

$H_{n+1}(y)=y^2{H}_n(y)-\frac{(2n-1)!!}{\sqrt{\pi }{2}^n}y$.

Enlaces externos

• gsl_sf_dawson en la GNU Scientific Library (en inglés)
• Cephes – librería de funciones matemáticas especiales en C y C++
• Faddeeva Package – código en C++ para la función de Dawson de argumentos tanto reales como complejos, via la función de Faddeeva
• Dawson's Integral (en Mathworld) (en inglés)
• Funciones de error (en inglés)
• Plantilla:Traducido ref