Función gamma de Hadamard

En matemática, la función gamma de Hadamard, llamada en honor a Jacques Hadamard, es una extensión de la función factorial, diferente de la función Gamma. Esta función, con su argumento desplazado una unidad menos, interpola el factorial y lo extiende a los reales y números complejos de una manera diferente a la función Gamma de Euler. Se define como:

$H(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-x)}\frac{d}{dx}\{\ln \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-\frac{x}{2})}{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{x}{2})}\right)\}$

donde Plantilla:Math denota la función Gamma clásica. Si Plantilla:Math es un entero positivo, entonces:

$H(n)=(n-1)!.$

Propiedades

A diferencia de la función Gamma clásica, la función gamma de Hadamard Plantilla:Math es una función entera, i.e., esta no tiene polos en todo su dominio. Satisface la siguiente ecuación funcional

$H(x+1)=xH(x)+\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

Representaciones

La función gamma de Hadamard puede expresarse en términos de funciones digamma como

$H(x)=\frac{\psi (1-\frac{x}{2})-\psi (\frac{1}{2}-\frac{x}{2})}{2\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

y como

$H(x)=\mathrm{\Gamma }(x)[1+\frac{\sin (\pi x)}{2\pi }\{\psi \left(\frac{x}{2}\right)-\psi \left(\frac{x+1}{2}\right)\}],$

donde Plantilla:Math denota la función digamma.

Referencias

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite web