Función implícita

Una función se llama implícita cuando está definida mediante una ecuación de la forma $f(x,y)=0.$

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de ${ℝ}^2$ entre las variables x e y:

$y^3+y^2+5xy+x^2+x+y=0$

Derivación

Para derivar una función implícita se usa la regla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar la variable dependiente se la considera como una función que a su vez depende de la variable independiente:

Dada una función $F(x,y)$, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$.

Si consideramos $y=f\left(x\right)$ es una función en términos de la variable independiente x y $G\left(y\right)$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y=f\left(x\right)$, entonces para obtener la derivada:

$D_x\left(G\left(y\right)\right)=D_x\left(G\left(f\left(x\right)\right)\right)=G^{\prime }\left(f\left(x\right)\right)\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)$

Ejemplo

Obtener la derivada dee:

$6x^{2}y+5y^3+3x^2=12-x^2{y}^2$

El término $6x^{2}y$ se puede considerar que son dos funciones, $6x^2$ y $y$ por lo que se derivará como un producto:

$D_x\left(6x^{2}y\right)=\left(12x\right)\cdot y+\left(6x^2\right)\cdot \left(\frac{dy}{dx}\right)$

El término $5y^3$ se deriva como:

$D_x\left(5y^3\right)=15y^2\cdot \frac{dy}{dx}$

El término $3x^2$ se deriva de forma normal como:

$D_x\left(3x^2\right)=6x$

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

$D_x\left(12\right)=0$

El término $x^2{y}^2$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

$D_x\left(x^2{y}^2\right)=2x{y}^2+x^2\cdot (2y\cdot \frac{dy}{dx})$

Al unir todos los términos se obtiene:

$12xy+6x^2\cdot \frac{dy}{dx}+15y^2\cdot \frac{dy}{dx}+6x=-2x{y}^2-2x^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}$

Ordenando:

$6x^2\cdot \frac{dy}{dx}+15y^2\cdot \frac{dy}{dx}+2x^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}=-12xy-6x-2x{y}^2$

Factorizando respecto a ( $\frac{dy}{dx}$ ) los valores son:

$(6x^2+15y^2+2x^{2}y)\cdot \frac{dy}{dx}=-(12xy+6x+2x{y}^2)$

Finalmente despejando $\frac{dy}{dx}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{12xy+6x+2x{y}^2}{6x^2+15y^2+2x^{2}y}$

Véase también

• Función matemática
• Derivada
• Teorema de la función implícita

Referencias

• John B. FRALEIGH. Cálculo con geometría analítica. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México D.F., 1984 ISBN 968-50-0127-8

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Springer