Función logística generalizada

A=0, K=1, B=3, Q=ν=0.5, M=0, C=1

Efecto de variar el parámetro A. Todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro B. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro C. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro K. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro Q. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

Efecto de variar el parámetro ν. A = 0, todos los demás parámetros son 1.

La función o curva logística generalizada, también conocida como curva de Richards, desarrollada originalmente para el modelado del crecimiento, es una extensión de las funciones logísticas o sigmoideas, que permite curvas en forma de S más flexibles:

$Y(t)=A+\frac{K-A}{(C+Q{e}^{-Bt}{)}^{1/\nu }}$

donde $Y$ = peso, altura, tamaño, etc., y $t$ = tiempo.

Tiene cinco parámetros:

• $A$: la asíntota inferior;
• $K$: la asíntota superior. Si $A=0$ entonces $K$ se llama la capacidad de carga;
• $B$: la tasa de crecimiento;
• $v>0$: afecta cerca de la cual se produce un crecimiento máximo asintótico.
• $Q$: está relacionado con el valor $Y(0)$
• $C$: normalmente toma un valor de 1.

La ecuación también puede ser escrita:

$Y(t)=A+\frac{K-A}{(C+e^{-B(t-M)}{)}^{1/\nu }}$

donde $M$ puede ser pensado como un tiempo de partida, $t_0$ (en la que $Y(t_0)=A+\frac{K-A}{(C+1{)}^{1/\nu }}$)

Incluir tanto $Q$ como $M$ puede ser conveniente:

$Y(t)=A+\frac{K-A}{(C+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{1/\nu }}$

esta representación simplifica la configuración de un tiempo inicial y el valor de Y en ese momento.

La logística, con una tasa de crecimiento máxima en el momento $M$, es el caso donde $Q=\nu =1$

Ecuación diferencial logística generalizada

Un caso particular de la función logística generalizada es:

$Y(t)=\frac{K}{(1+Q{e}^{-\alpha \nu (t-t_0)}{)}^{1/\nu }}$

que es la solución de la ecuación diferencial de Richards (RDE):

$Y^{\prime }(t)=\alpha (1-{\left(\frac{Y}{K}\right)}^{\nu })Y$

con condición inicial

$Y(t_0)=Y_0$

donde

$Q=-1+{\left(\frac{K}{Y_0}\right)}^{\nu }$

siempre que $v>0$ y $\alpha >0$.

La ecuación diferencial logística clásica es un caso particular de la ecuación anterior, con $v=1$, mientras que la función de Gompertz se puede recuperar en el límite $\nu \to 0^{+}$ siempre que:

$\alpha =O\left(\frac{1}{\nu }\right)$

De hecho, para los v pequeños es

$Y^{\prime }(t)=Yr\frac{1-\exp (\nu \ln \left(\frac{Y}{K}\right))}{\nu }\approx rY\ln \left(\frac{Y}{K}\right)$

La EDR modela muchos fenómenos de crecimiento, incluido el crecimiento de tumores. En oncología, sus principales características biológicas son similares a las del modelo de curva logística.

Gradiente de función logística generalizada

Al estimar parámetros a partir de datos, a menudo es necesario calcular las derivadas parciales de la función logística con respecto a los parámetros en un punto de datos determinado $t$. Para el caso donde $C=1$,

$\begin{array}{cc}\frac{\partial Y}{\partial A}& =1-(1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{-1/\nu }\\ \frac{\partial Y}{\partial K}& =(1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{-1/\nu }\\ \frac{\partial Y}{\partial B}& =\frac{(K-A)(t-M)Q{e}^{-B(t-M)}}{\nu (1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{\frac{1}{\nu }+1}}\\ \frac{\partial Y}{\partial \nu }& =\frac{(K-A)\ln (1+Q{e}^{-B(t-M)})}{{\nu }^2(1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{\frac{1}{\nu }}}\\ \frac{\partial Y}{\partial Q}& =-\frac{(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{\frac{1}{\nu }+1}}\\ \frac{\partial Y}{\partial M}& =-\frac{(K-A)QB{e}^{-B(t-M)}}{\nu (1+Q{e}^{-B(t-M)}{)}^{\frac{1}{\nu }+1}}\end{array}$

Véase también

• Función Logística
• Función de Gompertz
• Ludwig von Bertalanffy

Bibliografía

• Plantilla:Cita publicación
• Plantilla:Cita publicación
• Plantilla:Cita publicación