Función q-gamma

En matemática, la función q-gamma, o función gamma básica, es una generalización de la función gamma ordinaria, y está muy estrechamente relacionada con la función gamma doble. Ésta fue introducida por Plantilla:Harvtxt.

Se define de la siguiente manera:

${\mathrm{\Gamma }}_q(x):=(1-q{)}^{1-x}\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-q^{n+1}}{1-q^{x+n}}.$

Expresiones

La función q-gamma es un q-análogo de la función gamma, y por tanto, se puede expresar en términos de símbolos q-Pochhammer:

${\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}(1-q{)}^{1-x}$

Además, satisface la siguiente ecuación funcional:

${\mathrm{\Gamma }}_q(z+1)=\frac{(1-q^z)}{(1-q)}{\mathrm{\Gamma }}_q(z)$

y es equivalente a la función gamma ordinaria cuando $q\to 1^{-}$ ya que

$\underset{q\to 1^{-}}{\lim }{\mathrm{\Gamma }}_q(z)=\mathrm{\Gamma }(z)$

Referencias

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:MathWorld