Función suma de cuadrados

La función suma de cuadrados es una función aritmética que dado un número entero positivo Plantilla:Math, proporciona el número de representaciones de este como suma de Plantilla:Math cuadrados, donde las representaciones que únicamente se diferencian en el orden de sumandos o los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes, y se denota por Plantilla:Math.

Definición

La función se define como

$r_k(n)=|\{(a_1,a_2,\dots ,a_k)\in {𝐙}^k:n=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_k^2\}|$

donde |.| denota la cardinalidad del conjunto. En otras palabras, Plantilla:Math es el número de veces que Plantilla:Math puede escribirse como suma de Plantilla:Math cuadrados.

Casos particulares

El número de veces que puede escribirse un número natural como suma de dos cuadrados está dado por Plantilla:Math. Puede ser proporcionado explícitamente como

$r_2(n)=4(d_1(n)-d_3(n))$

donde Plantilla:Math es el número de divisores de Plantilla:Math que son congruentes con 1 módulo 4 y Plantilla:Math es el número de divisores de Plantilla:Math que son congruentes con 3 módulo 4. Usando sumas, la expresión se puede escribir como:

$r_2(n)=4\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{d\mid n}{d\equiv 1,3(\mathrm{mod}4)}}(-1{)}^{(d-1)/2}$

El número de veces que se puede representar Plantilla:Math como la suma de cuatro cuadrados fue dado por Carl Gustav Jakob Jacobi y es ocho veces la suma de todos sus divisores que no son divisibles por 4, i.e.

$r_4(n)=8\sum _{d\mid n;4\nmid d}d$

Jacobi también encontró una fórmula explícita para el caso Plantilla:Math:

$r_8(n)=16\sum _{d\mid n}(-1{)}^{n+d}{d}^3$

La función generadora que proporciona los coeficientes de la forma general está basada en términos de la función theta de Jacobi:

$\vartheta (0;q{)}^k={\vartheta }_3^k(q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_k(n)q^n$

donde

$\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}$

Véase también

• Teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld