Funciones theta de Neville

Gráficos de las funciones theta de Neville

En matemáticas, las funciones theta de Neville, que llevan el nombre del matemático británico Eric Harold Neville (1889-1961), se definen de la siguiente manera:

${\theta }_c(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }q(m{)}^{1/4}}{m^{1/4}\sqrt{K(m)}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(q(m){)}^{k(k+1)}\cos \left(\frac{(2k+1)\pi z}{2K(m)}\right)$

${\theta }_d(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }}{2\sqrt{K(m)}}(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(q(m){)}^{k^2}\cos \left(\frac{\pi zk}{K(m)}\right))$

${\theta }_n(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }}{2(1-m{)}^{1/4}\sqrt{K(m)}}(1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(q(m){)}^{k^2}\cos \left(\frac{\pi zk}{K(m)}\right))$

${\theta }_s(z,m)=\frac{\sqrt{2\pi }q(m{)}^{1/4}}{m^{1/4}(1-m{)}^{1/4}\sqrt{K(m)}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(q(m){)}^{k(k+1)}\sin \left(\frac{(2k+1)\pi z}{2K(m)}\right)$

donde: K(m) es la integral elíptica completo del primer tipo, $K^{\prime }(m)=K(1-m)$, y $q(m)=e^{-\pi K^{\prime }(m)/K(m)}$ es el nomo elíptico.

Téngase en cuenta que las funciones θ_p(z,m) a veces se definen en términos del nombre q(m) y se escriben θ_p(z,q) (por ejemplo, NIST). Las funciones también pueden escribirse en términos del parámetro τ, con el valor θ_p(z|τ) donde $q=e^{i\pi \tau }$.

Relación con otras funciones

Las funciones theta de Neville pueden expresarse en términos de las funciones theta de Jacobi

${\theta }_s(z|\tau )={\theta }_3^2(0|\tau ){\theta }_1(z^{\prime }|\tau )/\theta {\text{'}}_1(0|\tau )$

${\theta }_c(z|\tau )={\theta }_2(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_2(0|\tau )$

${\theta }_n(z|\tau )={\theta }_4(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_4(0|\tau )$

${\theta }_d(z|\tau )={\theta }_3(z^{\prime }|\tau )/{\theta }_3(0|\tau )$

donde $z^{\prime }=z/{\theta }_3^2(0|\tau )$.

También están relacionadas con las funciones elípticas de Jacobi. Si pq(u,m) es una función elíptica de Jacobi (p y q son uno de s,c,n,d), entonces

$\mathrm{pq}(u,m)=\frac{{\theta }_p(u,m)}{{\theta }_q(u,m)}.$

Ejemplos

• ${\theta }_c(2.5,0.3)\approx -0.65900466676738154967$
• ${\theta }_d(2.5,0.3)\approx 0.95182196661267561994$
• ${\theta }_n(2.5,0.3)\approx 1.0526693354651613637$
• ${\theta }_s(2.5,0.3)\approx 0.82086879524530400536$

Simetría

• ${\theta }_c(z,m)={\theta }_c(-z,m)$
• ${\theta }_d(z,m)={\theta }_d(-z,m)$
• ${\theta }_n(z,m)={\theta }_n(-z,m)$
• ${\theta }_s(z,m)=-{\theta }_s(-z,m)$

Aplicaciones disponibles

• NetvilleThetaC[z,m], NevilleThetaD[z,m], NevilleThetaN[z,m] y NevilleThetaS[z,m] son funciones integradas de Mathematica.

Bibliografía

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
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Enlaces externos

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