Fórmula integral de Schwarz

En análisis complejo, la Fórmula integral de Schwarz, nombrada en honor matemático Hermann Amandus Schwarz, permite recuperar una función holomorfa, hasta una constante imaginaria, a partir de los valores límites de su parte real.

Disco Unitario

Sea $f$ una función holomorfa en el disco unitario $\{z\in ℂ:|z|\le 1\}$ entonces

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta |=1}\frac{\zeta +z}{\zeta -z}\text{Re}(f(\zeta ))\frac{d\zeta }{\zeta }+i\text{Im}(f(0))$

para todo $|z|<1$.

Semiplano superior

Sea $f$ una función holomorfa en el semiplano superior cerrado $\{z\in ℂ:\mathrm{Im}(z)\ge 0\}$ tal que para algún $\alpha >0$, $|z^{\alpha }f(z)|$ está acotado por el semiplano superior cerrado entonces

$f(z)=\frac{1}{\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(\zeta ,0)}{\zeta -z}d\zeta =\frac{1}{\pi i}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{Re(f)(\zeta +0i)}{\zeta -z}d\zeta$

para todo $\mathrm{Im}(z)>0$.

Considere que, comparando con la versión del disco unitario, esta fórmula no tiene una constante arbitraria añadida a la integral.

Corolario de la fórmula integral de Poisson

La fórmula proviene de la Fórmula integral de Poisson aplicada a $u$:

$u(z)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}u(e^{i\psi })\mathrm{Re}\frac{e^{i\psi }+z}{e^{i\psi }-z}d\psi$

para $|z|<1$.

Por medio de mapas de conformación, la fórmula se puede generalizar a cualquier conjunto abierto simplemente conexo

Notas y referencias

• Ahlfors, Lars V. (1979), Complex Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, ISBN 0-07-085008-9
• Remmert, Reinhold (1990), Theory of Complex Functions, Second Edition, Springer, ISBN 0-387-97195-5
• Saff, E. B., and A. D. Snider (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering, Second Edition, Prentice Hall, ISBN 0-13-327461-6