Geometría diferencial de hipersuperficies

En matemáticas, la geometría diferencial de hipersuperficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de hipersuperficies o variedades diferenciales de n dimensiones inmersas en una variedad riemanniana o el espacio euclídeo.

Aquí se tratará de las superficies en ${ℝ}^{n+1}$, dotado de una métrica euclídea, es decir ${𝔼}^d$.

Ecuación paramétrica de una hipersuperficie

Puesto que una superficie en ${ℝ}^{n+1}$ es una variedad diferenciable de dimensión n, en un entorno V de una superficie las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros: Plantilla:Ecuación En general una hipersuperficie puede representarse de forma no paramétrica mediante la ecuación: Plantilla:Ecuación Que si f es suficientemente regular es equivalente localmente a las ecuaciones paramétricas anteriores.

Plano tangente

Dada una superficie $H$ de ${ℝ}^{n+1}$ y un punto$P_0=(x_0^1,\dots ,x_0^n)\in S$ se define como el único hiperplano de ${ℝ}^{n+1}$ que contiene al punto $P_0$ y (localmente) y la aproxima hasta términos de primer orden. La ecuación analítica de este hiperplano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de la hipersuperificie: Plantilla:Ecuación Más sencillamente el hiperplano anterior puede escribirse como el conjunto $(x^1,\dots ,x^n)$ que satisface la siguiente ecuación: Plantilla:Ecuación Aquí, se ha usado la simplificación de notación ${x^{\prime }}_j^i=\frac{\partial x^i}{\partial u^j}$,... etc

Vector normal a la superficie

Un vector director del hiperplano tangente es un vector normal a la hipersuperficie, usualmente existen dos elecciones posibles para un vector normal unitario (ambas relacionadas por un cambio de signo). Si se expresa la hipersuperificie mediante la superficie $f(x^1,\dots ,x^n)=0$, el vector unitario normal se calcula simplemente como: Plantilla:Ecuación

Primera forma fundamental

La primera forma fundamental I es la métrica inducida por la métrica euclídea en la hipersuperficie. Dicha métrica es un tensor 2-covariante, simétrico y definido sobre el espacio tangente a cada punto de la hipersuperficie H. De hecho (H, I) constituye una variedad de Riemann con tensor métrico I. La primera forma fundamental permite estimar longitudes sobre la hipersuperficie y ángulos de intersección entre curvas. Las componentes de la primera forma fundamental suelen designarse por $g_{ij}$: Plantilla:Ecuación La forma cuadrática anterior es positiva, lo que implica que $\det (g)>0$. La primera forma anterior puede escribirse como una combinación lineal de productos tensoriales de las 1-formas coordenadas $d{u}^i$ conforme a: Plantilla:Ecuación Estas pueden calcularse explícitamente a partir de la parametrización: Plantilla:Ecuación

Véase también

• Geometría diferencial de superficies

Bibliografía

• Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
• M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".
• Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Enciclopedia en-línea de Springer-Verlag [1]