Grado de extensión de un cuerpo

En matemática, concretamente en teoría de cuerpos, el grado de extensión de un cuerpo es una medida aproximada del «tamaño» de la extensión. El concepto juega un papel importante en muchas partes de las matemáticas, incluyendo el álgebra y la teoría de números — de hecho, en cualquiera en la que los cuerpos aparezcan regularmente —.

Definición del grado de una extensión

Suponga que L:K es una extensión de cuerpos. Entonces L puede ser considerado como un espacio vectorial sobre K (el cuerpo de los escalares). Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de $L$ como espacio vectorial sobre $K$, denotado por ${\dim }_K(L)$. Se denomina grado de la extensión $L:K$ a la dimensión de $L$ como $K$-espacio vectorial: $[L:K]={\dim }_K(L)$.

Teorema de transitividad del grado.

Sea $L$ una extensión de $K$, y sea $E$ un subcuerpo de $L$ que es a su vez extensión de $K$. Entonces se cumple que $[L:K]=[L:E][E:K]$.

Extensiones algebraicas y trascendentes

El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.

• Si una extensión L:K es trascendente, existirá al menos un $\alpha \in L\setminus K$ de manera que $\alpha$ sea un elemento trascendente sobre $K$. Así pues, $K(\alpha )\subset L$, luego $[L:K]={\dim }_K(L)\ge {\dim }_K(K(\alpha ))$. Pero como $K(\alpha )\cong K(x)$ (por ser $\alpha$ trascendente sobre $K$), y por otro lado $K[x]\subset K(x)$ (con lo que ${\dim }_K(K[x])\le {\dim }_K(K(x))$) y ${\dim }_K(K[x])=\mathrm{\infty }$, resulta que $[L:K]={\dim }_K(L)\ge {\dim }_K(K(\alpha ))={\dim }_K(K(x))\ge {\dim }_K(K[x]))=\mathrm{\infty }$.

Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica. Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.

• Si $[L:K]=1$, será entonces $L=K$. Si tomamos un elemento $\alpha \in L\setminus K$ que sea algebraico sobre $K$, entronces existirá un polinomio mónico irreducible $p=m_{\alpha }^K$ de manera que $K(\alpha )\cong \frac{K[x]}{(p)}$. Si $\mathrm{deg}(p)=n$, entonces $\{1+(p),x+(p),...,x^{n-1}+(p)\}$ es una base de $\frac{K[x]}{(p)}$, con lo cual $[K(\alpha ):K]={\dim }_K(K(\alpha ))={\dim }_K(\frac{K[x]}{(p)})=n=\mathrm{deg}(p)=\mathrm{deg}(m_{\alpha }^K)$.

Véase también

• Extensión de cuerpos
• Teoría de cuerpos

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld