Grupo unitario

En matemáticas, el grupo unitario U_K(n) de grado n, es el grupo de matrices unitarias (de n x n) cuyas componentes pertenecen al cuerpo $𝕂$. Estas matrices, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (Usualmente el cuerpo $𝕂$ se toma como el conjunto de los reales $ℝ$ o el cuerpo de los números complejos $ℂ$.)

El grupo unitario, denotado U_$𝕂$ o U(n, $𝕂$), es un subgrupo del grupo general lineal GL(n, $𝕂$)

Ejemplos

En el caso simple n = 1, el grupo U(1) es el círculo unidad en el plano complejo, con su multiplicación. Todos los grupos unitarios complejos contienen copias de este grupo.

Si el cuerpo $𝕂$ es $ℝ$, los números reales, entonces el grupo unitario coincide con el grupo ortogonal O(n, $ℝ$). Si $𝕂$ es $ℂ$, los números complejos, se escribe generalmente U(n) para el grupo unitario de grado n.

El grupo unitario U(n) es un grupo de Lie real de dimensión n². El álgebra de Lie de U(n) consiste en las matrices anti-simétricas complejas n por n, con el corchete de Lie dado por el conmutador.

Subgrupos

• El grupo especial unitario SU(n) es un subgrupo de U(n).
• U(m), con m < n es un subgrupo de U(n).

Generalización

El concepto de grupo unitario puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión infinita, como los espacios de Hilbert usados en mecánica cuántica. Dado un operador autoadjunto $\hat{A}$, como el que representa una magnitud física puede definirse un grupo de operadores unitarios mediante:

${\hat{U}}_A(s)=\text{exp}(-\mathrm{i}\hat{A}s)s\in ℝ$

Los dos ejemplos más notorios son el grupo unitario de evolución temporal, generado a partir del operador hamiltoniano y el grupo de rotaciones alrededor de un eje, generado por el momento angular:

$\hat{U}(t)=\text{exp}(-\mathrm{i}\hat{H}t/\hslash )$

$\hat{R}(\theta )=\text{exp}(-\mathrm{i}{\hat{L}}_{eje}/\hslash )\theta \in [0,2\pi )$

Véase también

• Grupo especial unitario
• SU(2)
• Álgebra