Grupoide de Lie

Un grupoide de Lie es un grupoide donde ambos, el grupoide y el espacio base son variedades y las funciones origen y final son funciones diferenciables cuya diferencial es suryectiva, es decir son sumersiones suryectivas. Esta definición generaliza la de grupo de Lie: los grupos de Lie son los grupoides de Lie donde el espacio base es trivial.

Definición

• Un grupoide de Lie es un $G$ grupoide con base $M$ tal que
  • $G$, $M$ son variedades diferenciales.
  • $s,t:G\to M$, las aplicaciones origen y final, son sumersiones sobreyectivas.
  • $1:M\to G$, la aplicación unidad, es diferenciable.
  • La multiplicación $G*G\to G$ es diferenciable.

Observar que si denotamos ${\mathrm{\Delta }}_M$ la diagonal de $M$, entonces $G*G=(s\times t{)}^{-1}({\mathrm{\Delta }}_M)$. Como $s\times t$ es una sumersión suryectiva, por el teorema de la función inversa obtenemos que $G*G$ es una subvariedad incrustada y cerrada de $G\times G$ y hereda su estructura diferenciable. Esto nos dice que tiene sentido hablar de que el producto o multiplicación es diferenciable.

Ejemplos

• Sea $(E,q,M)$ un fibrado vectorial y $\mathrm{\Phi }(E):=\{\xi :E_x\to E_y/x,y\in M,\xi$ es lineal $\}$, es decir todas las transformaciones lineales entre fibras. Si $\xi :E_x\to E_y\in \mathrm{\Phi }$, definimos $s(\xi )=x$, el origen de $\xi$ y $t(\xi )=y$, el destino de $\xi$. Claramente $s,t:\mathrm{\Phi }\to M.$ Si $\xi ,\eta \in \mathrm{\Phi }(E)$, la composición $\eta \xi$ sólo tiene sentido si $t(\xi )=s(\eta )$. Si se define $\mathrm{\Phi }(E)*\mathrm{\Phi }(E):=\{(\eta ,\xi )\in \mathrm{\Phi }(E)\times \mathrm{\Phi }(E):t(\xi )=s(\eta )\}$ Entonces existe un producto $\mathrm{\Phi }(E)*\mathrm{\Phi }(E)\to \mathrm{\Phi }(E)$ definido como arriba. De esta forma $\mathrm{\Phi }(E)$ es un grupoide con base $M$, donde $s,t$ son las aplicaciones origen y final, respectivamente y la identidad es el isomorfismo identidad en cada fibra.

• Sea $M$ una variedad diferenciable y $G$ un grupo de Lie. Entonces el grupoide trivial $M\times G\times M\rightrightarrows M$ es un grupoide de Lie.