H-cuadrado

En matemáticas y teoría de control, H ², o H-cuadrado es un espacio de Hardy con la norma del cuadrado. Es un subespacio del espacio L², y por lo tanto es un espacio de Hilbert. En particular, es un kernel de reproducción de espacio de Hilbert.

En el círculo unitario

En general, los elementos de L² en el círculo unitario están dados por

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi }$

mientras que los elementos de H² están dadas por

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{in\phi }.$

La proyección de L² a H² (estableciendo a_n = 0 cuando n < 0) es ortogonal.

En el semiplano

La transformada de Laplace $ℒ$dada por

$[ℒf](s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

se puede entender como un operador lineal

$ℒ:L^2(0,\mathrm{\infty })\to H^2\left({ℂ}^{+}\right)$

donde $L^2(0,\mathrm{\infty })$es el conjunto de funciones cuadradas-integrables en la recta numérica real positiva, y ${ℂ}^{+}$es la mitad derecha del plano complejo. Es más; es un isomorfismo, en que es invertible, y es isométrico , en que satisface

$\Vert ℒf{\Vert }_{H^2}=\sqrt{2\pi }\Vert f{\Vert }_{L^2}.$

La transformada de Laplace es "la mitad" de una transformada de Fourier; de la descomposición

$L^2(ℝ)=L^2(-\mathrm{\infty },0)\oplus L^2(0,\mathrm{\infty })$

uno entonces obtiene una descomposición ortogonal de $L^2(ℝ)$en dos espacios resistentes

$L^2(ℝ)=H^2\left({ℂ}^{-}\right)\oplus H^2\left({ℂ}^{+}\right).$

Este es esencialmente el teorema de Paley-Wiener .

Véase también

• H _∞

Referencias

• Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, Plantilla:ISBN.