Identidad de Roy

La identidad de Roy es un resultado importante en la microeconomía que tiene aplicaciones en la teoría del consumidor y la teoría de la empresa. El lema relaciona la función de demanda marshalliana (ordinaria) con las derivadas de la función de utilidad indirecta. Específicamente, denota la función de utilidad indirecta como $v(p,w)$, la función de demanda marshalliana para el bien $i$ puede calcularse comoː

$x_i^m=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_i}}{\frac{\partial v}{\partial w}}$

donde $p$ es el vector de precios de los bienes y $w$ el ingreso. La identidad es nombrada a partir del economista francés René Roy, quien la publicó en Econometrica en 1947.

Derivación de la identidad

La identidad de Roy reformula el lema de Shephard para obtener una función de demanda marshalliana para un individuo y un bien ($i$) de alguna función de utilidad indirecta.

El primer paso es considerar la identidad obtenida al sustituir la función de gasto por riqueza o ingreso $w$ en la función de utilidad indirecta $v(p,w)$, a una utilidad de $u$ː

$v(p,e(p,u))=u$

Esto dice que la función de utilidad indirecta evaluada de tal manera que minimiza el costo de lograr una determinada utilidad dado un conjunto de precios (un vector $p$) es igual a esa utilidad cuando se evalúa a esos precios.

Tomando la derivada de ambos lados de esta ecuación con respecto al precio del bien $p_i$(manteniendo el nivel de utilidad constante) tiene como resultadoː

$\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}+\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_i}=0$

Reorganizandoː

$-\frac{\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_i}}{\frac{\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}=\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i}=h_i(p,u)=x_i(p,e(p,u))$

con la penúltima igualdad siguiendo el lema de Shephard y la última igualdad de una propiedad básica de la demanda hicksiana (compensada).

Prueba utilizando el teorema de la envolvente

Para facilitar la explicación, considere un caso de dos bienes. La función de utilidad indirecta $v(p_1,p_2,w)$ es la función de valor del problema de optimización restringida caracterizado por el siguiente lagrangiano:

$ℒ=u(x_1,x_2)+\lambda (w-p_1{x}_1-p_2{x}_2)$

Por el teorema de la envolvente, las derivadas de la función $v(p_1,p_2,w)$ con respecto a los parámetros son:

$\frac{\partial v}{\partial p_1}=-\lambda x_1^m$

$\frac{\partial v}{\partial w}=\lambda$

Donde $x_1^m$ es el maximizador (es decir, la función de demanda marshalliana para el bien 1). Por tanto:̟

$-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_1}}{\frac{\partial v}{\partial w}}=-\frac{-\lambda x_1^m}{\lambda }=x_1^m$

Aplicaciones

La identidad proporciona un método para derivar la función de demanda marshalliana de un bien para un consumidor a partir de la función de utilidad indirecta. Es fundamental para derivar la ecuación de Slutski.