Implicación opuesta

Plantilla:Ficha de conectiva lógica {{#invoke:Sidebar|sidebar |class = plainlist |name = Conectivas lógicas |title = Conectivas lógicas |image = |content1 =

• Tautología $\mathrm{\top }$
• Conjunción opuesta $\uparrow$
• Implicación opuesta $\leftarrow$
• Condicional material $\to$
• Disyunción lógica $\vee$
• Negación lógica $\mathrm{\neg }$
• Disyunción exclusiva $\nleftrightarrow$
• Bicondicional $\leftrightarrow$
• Afirmación lógica
• Disyunción opuesta $\downarrow$
• Adjunción lógica $\nrightarrow$
• Adjunción opuesta $\nleftarrow$
• Conjunción lógica $\wedge$
• Contradicción $\mathrm{\perp }$

}} En razonamiento formal, la implicación opuesta ( $\leftarrow$ ), conversa o recíproca, entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en falso sólo si la implicación es falsa mientras la condición es cierta, y en cierto de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos donde se utiliza la implicación opuesta.

En otras palabras:

• que suceda B es condición suficiente para que suceda A, y
• que suceda A es condición necesaria para que suceda B; esto es, si no ocurre A, entonces, no ocurre B.

Ejemplo: No hay vida sin atmósfera.

A: Hay atmósfera B: Hay vida

(A←B)

que podría también interpretarse en español como: «Hay atmósfera si hay vida», «Hay vida solo si hay atmósfera», «Si no hay atmósfera, entonces, no hay vida».

Definición

Siendo $𝒫=\{V,F\}$, el conjunto de los valores de verdad de la lógica bivalente, la implicación opuesta, $\leftarrow$, es la función de verdad:

$\begin{array}{cccc}\leftarrow :& 𝒫\times 𝒫& ⟶& 𝒫\\ & (a,b)& \mapsto & c=a\leftarrow b\end{array}$

Siendo una aplicación matemática definida de $𝒫\times 𝒫$ sobre $𝒫$, de modo que a cada par ordenado $(a,b)$ de $𝒫\times 𝒫$ se le asocia un único $c$ de $𝒫$, expresado $c=a\leftarrow b$.

$\mathrm{\forall }(a,b)\in 𝒫\times 𝒫:\mathrm{\exists }!c\in 𝒫/c=a\leftarrow b$

La implicación opuesta solamente es falsa cuando la primera proposición es falsa y la segunda verdadera; para los demás casos, es verdadera. No es conmutativa, esto es, dadas dos proposiciones $p$ y $q$, $p\leftarrow q$ y $q\leftarrow p$ no son lógicamente equivalentes.

Véase también

• Conversión lógica
• Álgebra de Boole
• Lógica proposicional
• Puerta lógica
• Implicación
• Operador a nivel de bits

Enlaces externos

• Lógica de enunciados

Bibliografía

• Nachbin, Leopoldo (1986). Álgebra elemental. Rochester, Nueva York: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.
• Libros relacionados en formato PDF

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