Integral de superficie

La integral de superficie es una extensión del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de línea es una extensión del concepto de integral de Riemann clásica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya función es evaluada sobre una superficie.

Integral de superficie de un campo escalar

Sean $S\subset {ℝ}^3$ una superficie parametrizada por $\mathrm{\Phi }:D\subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ y $f:S\to ℝ$ un campo escalar continuo, se define la integral de superficie del campo escalar $f$ sobre $S$ como

$\underset{S}{\iint }fdS=\underset{D}{\iint }f(\mathrm{\Phi }(x,y))\Vert \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\Vert dA$

En particular, cuando $f=1$ entonces obtenemos el área de la superficie $S$, esto es

$A(S)=\underset{S}{\iint }dS=\underset{D}{\iint }\Vert \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\Vert dA$

Integral de superficie de un campo vectorial

Sean $S\subset {ℝ}^3$ una superficie parametrizada por $\mathrm{\Phi }:D\subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ y $𝐅:S\to {ℝ}^3$ un campo vectorial continuo, se define la integral de superficie del campo vectorial $𝐅$ sobre $S$ como

$\underset{S}{\iint }𝐅\cdot d𝐒=\underset{D}{\iint }𝐅(\mathrm{\Phi }(x,y))\cdot (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y})dA$

Relación con las integrales de superficie de campos escalares

Para una superficie orientada suave $S$ y una parametrización $\mathrm{\Phi }$ de $S$, si

$𝐧=\frac{\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}}{\Vert \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\Vert }$

es un vector unitario normal que apunta hacia el exterior de $S$ entonces

$\begin{array}{cc}\underset{S}{\iint }𝐅\cdot d𝐒& =\underset{D}{\iint }𝐅(\mathrm{\Phi }(x,y))\cdot (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y})dA\\ & =\underset{D}{\iint }[𝐅(\mathrm{\Phi }(x,y))\cdot \frac{\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}}{\Vert \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\Vert }]\Vert \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\Vert dA\\ & =\underset{D}{\iint }[𝐅(\mathrm{\Phi }(x,y))\cdot 𝐧]\Vert \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial x}\times \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y}\Vert dA\\ & =\underset{S}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS\\ & =\underset{S}{\iint }fdS\end{array}$

donde $f=𝐅\cdot 𝐧$, por lo tanto

$\underset{S}{\iint }𝐅\cdot d𝐒=\underset{S}{\iint }𝐅\cdot 𝐧dS$

Véase también

• Integración
• Integral de línea
• Teorema de Green
• Teorema de Gauss
• Teorema de Stokes
• Integral múltiple