Integral senoidal

La función Si(x)

La integral senoidal es la función definida mediante la integración de la función sinc (seno cardinal):

$\text{Si}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\text{sinc}(t)dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{sen}(t)}{t}dt$

Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Mediante una integración término a término, se ve que la integral senoidal puede expresarse como una serie:

$\text{Si}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5\cdot 5!}-\frac{x^7}{7\cdot 7!}+\dots$

Propiedades

Algunas propiedades de la integral senoidal son:

• Al ser la integral de una función par, es una función impar, esto es, Si(-x) = -Si(x).
• El valor de Si(x) cuando x tiende a infinito es el límite:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\text{Si}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{sen}(t)}{t}dt=\frac{\pi }{2}$

Asimismo, el valor de Si(x) cuando x tiende a menos infinito es $-\frac{\pi }{2}$.

Funciones asociadas

Seno Integral

Gráfico de Si(x) para 0 ≤ x ≤ 8π.

Las diferentes definiciones son:

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{sen}t}{t}dt$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{sen}t}{t}dt$

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$ es la primitiva de $\mathrm{sen}x/x$ que es cero para $x=0$; $\mathrm{s}\mathrm{i}(x)$ es la primitiva de $\mathrm{sen}x/x$ que es cero para $x=\mathrm{\infty }$. Se debe distinguir que $\frac{\mathrm{sen}t}{t}$ es la Función sinc y también la función esférica de Bessel: $j_n,y_n$ de orden cero. Cuando $x=\mathrm{\infty }$, se conoce como la Integral de Dirichlet.

Se define la función integral senoidal complementaria como:

$\text{si}(x)=\text{Si}(x)-\frac{\pi }{2}=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{sen}(t)}{t}dt$

Coseno Integral

Gráfico de Ci(x) para 0 < x ≤ 8π.

Se define la función integral cosenoidal como:

$\text{ci}(x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (t)}{t}dt$

Las diferentes definiciones son:

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)$ es la primitiva de $\cos x/x$ que es cero para $x=\mathrm{\infty }$. Se tiene:

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

Véase también

• Integral trigonométrica cardinal
• Función sinc
• Función real
• Funciones trigonométricas

Referencias

• Kreyszig, Erwin, Matemáticas avanzadas para ingeniería.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Plantilla:Springer
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