Isomorfismo musical

En matemáticas, el isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente $TM$ y el fibrado cotangente $T^{*}M$ de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.

Introducción

Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial $g\in {𝒯}_2(M)$ que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector $v_p\in T_{p}M$, se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:

${\hat{g}}_p:T_{p}M⟶T_p^{*}M$

definido por:

${\hat{g}}_p(v_p)=g(v_p,-)$

es decir,

$⟨{\hat{g}}_p(v_p),{\omega }_p⟩=g_p(v_p,{\omega }_p)$

Globalmente,

$\hat{g}:TM⟶T^{*}M$

es un difeomorfismo.

Motivación para el nombre

El isomorfismo $\hat{g}$ y su inversa ${\hat{g}}^{-1}$ se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como ${\alpha }^i\frac{\partial }{\partial x^i}$ y un covector como ${\alpha }_{i}d{x}^i$, así que el índice i sube y baja en $\alpha$ del mismo modo que los símbolos sostenido ($\mathrm{♯}$) y bemol ($\mathrm{♭}$) suben y bajan un semitono.

Gradiente

Los isomorfismos musicales se pueden usar para definir el gradiente de una función diferenciable sobre una variedad riemanniana M como:

$\mathrm{\nabla }f=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f={\hat{g}}^{-1}\circ df=(df{)}^{\mathrm{♯}}$

Véase también

• Ley de subir o bajar índices (tensores)