K-teoría

Fotografía de Michael Atiyah (izquierda) y Friedrich Hirzebruch (derecha)

La teoría K o K-teoría es una teoría inicialmente desarrollada para estudiar sistemáticamente el estudio de haces coherentes en variedades algebraicas y los fibrados vectoriales en variedades diferenciales.

Definiciones

Sea X un espacio topológico compacto y Vect(X,C,n) el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados complejos de rango n sobre X, este conjunto tiene la estructura de un monoide abeliano con la suma de Whitney de fibrados vectoriales. Análogamente, Vect(X,R,n) para fibrados reales. Las sumas directas para cada $n\ge 0$ dan lugar a los monoides abelianos de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales

$Vect(X,ℂ)={\oplus }_{n\ge 0}Vect(X,ℂ,n),Vect(X,ℝ)={\oplus }_{n\ge 0}Vect(X,ℝ,n).$

La teoría K compleja K(X) asociada a X se define como el grupo de Grothendieck asociado al primer monoide, mientras que la teoría K real KO(X) asociada a X es la compleción del segundo monoide. Los elementos de la teoría K son fibrados virtuales.

La teoría K real se llama también ortogonal. El origen de la denominación es la palabra klasse, refiriéndose al concepto de clase en alemán.

El producto tensorial de fibrados vectoriales dota a K(X) y KO(X) de la estructura de anillo conmutativo. Alternativamente, Vect(X,C,n) es un semi-anillo respecto el producto tensorial y la compleción de Grothendieck da lugar a este mismo anillo. Si $f:X⟶Y$ es una aplicación continua entre espacios topológicos, el pull-back de fibrados vectoriales por f induce morfismos de anillos

$f^{*}:K(Y)⟶K(X),f^{*}:KO(Y)⟶KO(X).$

Se puede comprobar que dos aplicaciones $f\simeq g:X⟶Y$ homotópicas inducen el mismo morfismo $f^{*}=g^{*}$. Estas propiedades se pueden sintetizar diciendo que las asignaciones

$X⟼K(X),X⟼KO(X)$

definen functores contravariantes de la categoría de espacios topológicas con morfismos clases de homotopía de aplicaciones a la categoría de anillos y morfismos de anillos.

Teoría K reducida

La teoría-K compleja y real de un punto X=pt. es isomorfa a los enteros Z, el isomorfismo dado por el rango. Dado un punto $x\in X$ se induce un morfismo de K(X) a Z y se define la K-teoría reducida de un espacio X como

$\tilde{K}(X):=\ker \{K(X)⟶\mathbb{Z}\}$

Nótese que la teoría-K reducida de X es un ideal de la K-teoría de X y dado que no es isomorfo al anillo total no contiene la identidad, el fibrado de línea trivial. Además, se tiene

$K(X)\cong \tilde{K}(X)\times \mathbb{Z}$

Ejemplos

En $KO(ℝ{\mathbb{P}}^n)$ el fibrado tangente del espacio proyectivo real satisface la ecuación

$[Tℝ{\mathbb{P}}^n]+[\epsilon ]=(n+1)[{\gamma }_1^{*}]$

con ${\gamma }_1$ denota el fibrado tautológico y $[\epsilon ]$ denota la clase del fibrado trivial de rango 1. En efecto, la aplicación enviando la recta definida por un vector tangente a una recta del espacio ortogonal define un isomorfismo

$Tℝ{\mathbb{P}}^n\cong Hom({\gamma }_1,{\gamma }_1^{\perp })$

La igualdad en K-teoría se deduce del hecho que $Hom({\gamma }_1,{\gamma }_1)$ tiene una sección global, la identidad, y luego es trivial:

$Tℝ{\mathbb{P}}^n\oplus \epsilon \cong Hom({\gamma }_1,{\gamma }_1^{\perp })\oplus Hom({\gamma }_1,{\gamma }_1)\cong Hom({\gamma }_1,{\gamma }_1\oplus {\gamma }_1^{\perp })\cong Hom({\gamma }_1,{\epsilon }^{n+1})\cong {\oplus }^{n+1}{\gamma }_1^{*}$

Análogamente en $K(ℂ{\mathbb{P}}^n)$ se tiene

$[Tℂ{\mathbb{P}}^n]+[\epsilon ]=(n+1)[{\gamma }_1^{*}]$

Un ejemplo fundamental en la teoría es el cálculo de $\tilde{K}(S^2)\cong \mathbb{Z}$.

Estabilidad

Sean E,F fibrados vectoriales sobre X, E y F son establemente isomorfos si existen dos naturales n,m tales que

$E\oplus {\epsilon }^n\cong F\oplus {\epsilon }^m$

Si se requiere adicionalmente n=m se dice que los fibrados son estrictamente establemente isomorfos. Por ejemplo, $Tℝ{\mathbb{P}}^n$ y ${\oplus }^{n+1}{\gamma }_1^{*}$ son establemente isomorfos, no estrictamente.

Entonces el resultado que da sentido geométrico a la teoría-K es el siguiente

Teorema: Existe un isomorfismo de grupos entre el grupo de clases de isomorfismos estables de fibrados sobre X y la K-teoría reducida de X.

El hecho topológico esencial para demostrar el teorema es la existencia de un fibrado ortogonal trivializante. De forma precisa, dado un fibrado $E\in Vect(X,ℂ,n)$ existe un fibrado E' tal que

$E\oplus E^{\prime }\cong {\epsilon }^s\in \mathbb{N}$

para algún natural s. Esto permite escribir un fibrado virtual como diferencia de una clase de fibrado en Vect(X,C,n) y un múltiplo de la clase trivial. El isomorfismo viene dado por esta asociación, enviando E a la diferencia de E y el rango. La palabra estable en este contexto no tiene relación con la estabilidad de fibrados definida por la condición GIT.

Esferas

En esta sección estudiamos la teoría-K reducida de una esfera $S^k$. Teniendo en cuenta que las esferas se obtienen por suspensión de una esfera de dimensión inferior, $S^k=\mathrm{\Sigma }{S}^{k-1}$, y que la suspensión es el functor adjunto por la izquierda del functor espacio de lazas $\mathrm{\Omega }$ obtenemos las siguientes biyecciones

$Vect(S^k,ℂ,n)\cong [\mathrm{\Sigma }{S}^{k-1},BGl(ℂ,n)]\cong [S^{k-1},\mathrm{\Omega }BGl(ℂ,n)]\cong [S^{k-1},Gl(ℂ,n)]$

El último conjunto es en biyección con el grupo de homotopía (k-1)-ésimo de Gl(C,n), como este grupo retrae a U(n) concluimos

$Vect(S^k,ℂ,n)⟷{\pi }_{k-1}(U(n))$

Para entender la teoría-K es necesario tener en cuenta todas los posibles rangos n. El resultado principal es el siguiente isomorfismo de grupos:

Teorema: $\tilde{K}(S^k)\cong {\pi }_{k-1}({\cup }_{n}U(n))$.

Los grupos estables de homotopía se deducen directamente del teorema de periodicidad de Bott. En particular, $\tilde{K}(S^2)\cong {\pi }_1({\cup }_{n}U(n))\cong \mathbb{Z}.$

Para la teoría-K no reducida el caso de la 2-esfera es el primer caso relevante y permite el cálculo de la teoría-K de ciertas suspensiones iteradas de un espacio.

Teorema: $K(S^2)$ es un anillo generado por el fibrado de línea canónico ${\gamma }_1$ sobre $S^2\cong ℂ{\mathbb{P}}^1$ con la relación $([{\gamma }_1]-[\epsilon ]{)}^2=0$.

La relación se deduce directamente del cálculo en la sección de ejemplos usando que $T{S}^2\cong {\gamma }_1^2$.

Referencias

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Enlace roto
• Plantilla:Citation
• Max Karoubi, K-theory, an introduction (1978) Springer-Verlag
• Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory, (2003)

Enlaces externos

• Página de Max Karoubi
• Archivo de artículos en K-teoría