Ley del péndulo

Plantilla:Otros usos Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l, en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente: 9,81 m.s^-2), y sujeto a pequeñas oscilaciones.
El período T de oscilación del péndulo es dado por la fórmula:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Prueba

Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.

La energía cinética del péndulo es: Plantilla:Ecuación

Se puede tomar su energía potencial igual a: Plantilla:Ecuación

Este sistema no pierde energía, por la suma de energía cinética y potencia es constante Plantilla:Eqnref

Al derivar Plantilla:Eqnref se obtiene:

Se puede simplificar Plantilla:Eqnref por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da: Plantilla:Ecuación

Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede reemplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ³ (porque sin θ = θ + O(θ³)).

Entonces Plantilla:Eqnref equivale a: Plantilla:Ecuación

Un movimiento oscilatorio sigue la ley Plantilla:Ecuación lo que implica que

donde $\omega$es la velocidad angular de la ley y ${\theta }_M$ el ángulo máximo.

Identificando Plantilla:Eqnref y Plantilla:Eqnref se obtiene ${\omega }^2=\frac{g}{l}$, es decir $\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$.

Concluimos recordando que $T=\frac{2\pi }{\omega }$.