Método de hipérbola de Dirichlet

En teoría de números, el método de hipérbola de Dirichlet es una técnica para evaluar la suma:

$\sum _{n\le x}f(n)$

donde $f,g,h$ son funciones multiplicativas con $f=g*h$, y donde $*$ es la convolución de Dirichlet. Esto usa el hecho de que:

$\sum _{n\le x}f(n)=\sum _{n\le x}\sum _{ab=n}g(a)h(b)=\sum _{a\le \sqrt{x}}\sum _{b\le \frac{x}{a}}g(a)h(b)+\sum _{b\le \sqrt{x}}\sum _{a\le \frac{x}{b}}g(a)h(b)-\sum _{a\le \sqrt{x}}\sum _{b\le \sqrt{x}}g(a)h(b).$

Usos

Sea $\tau (n)$ la función de número de divisores. Puesto que $\tau =1*1$, el método de hipérbola de Dirichlet ofrece el resultado

$\sum _{n\le x}\tau (n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(\sqrt{x}).$

Véase también

• Función suma de divisores