Matriz antihermitiana

En álgebra lineal, una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

$(A^T{)}^{*}$ $=-A$

o en su forma componente, si ($A=a_{i,j}$):

$a_{i,j}=-\overline{a_{j,i}}$

Para todas las i y las j.

Ejemplo

Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:

$\left(\begin{array}{cc}i& 2+i\\ -2+i& 3i\end{array}\right)$

Propiedades

• 1. Los autovalores de una matriz antihermitiana son todos imaginarios puros. Es más, las matrices antihermitianas son matrices normales. Por lo tanto, son diagonalizables y sus autovectores para distintos autovalores son ortogonales.
• 2. Si A es antihermitiana entonces iA es hermitiana.
• 3. Si A,B es antihermitiana, entonces aA+bB es antihermitiana para todos los escalares reales de a,b.
• 4. Si A es antihermitiana, entonces A^2k es hermitiana para todos los naturales k.
• 5. Si A es antihermitiana, entonces A^2k+1 es antihermitiana para todos los naturales k.
• 6. Si A es antihermitiana, entonces e^A es matriz unitaria.
• 7. La diferencia entre una matriz y su traspuesta conjugada ($C-C^{*}$) es antihermitiana.
• 8. Una matriz cuadrada arbitraria C puede ser escrita como la suma de la matriz hermitiana A y la matriz antihermitiana B:

$C=A+B\text{para}A=\frac{1}{2}(C+C^{*})\text{y}B=\frac{1}{2}(C-C^{*}).$

Véase también

• Matriz hermitiana
• Matriz identidad
• Matriz unitaria