Matriz antisimétrica

Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su opuesta, es decir vale la relación Plantilla:Nowrap

Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& a_{m3}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y $a_{ji}=-a_{ij}$ para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, $a_{ii}=0$ para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ -a_{12}& 0& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ -a_{13}& -a_{23}& 0& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{1n}& -a_{2n}& -a_{3n}& \cdots & 0\end{array}\right]$

Ejemplo

La matriz

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 4\\ 2& 0& 2\\ -4& -2& 0\end{array}\right]$

es antisimétrica, ya que

$A^T=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& -4\\ -2& 0& -2\\ 4& 2& 0\end{array}\right]=-A$

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto. Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.

Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre será 0

Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica

Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:

$A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)$

donde la parte antisimétrica es

$\frac{1}{2}(A-A^T)$

Véase también

• Matriz simétrica

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld