Matriz de autocorrelación

La matriz de autocorrelación es usada en los algoritmos de procesamiento digital de señales. Esta consiste en elementos de la función discreta de autocorrelación, $R_{xx}(j)$, ordenados de la siguiente manera:

${𝐑}_x=E[{𝐱𝐱}^H]=\left[\begin{array}{ccccc}{R}_{xx}(0)& R_{xx}^{*}(1)& R_{xx}^{*}(2)& \cdots & R_{xx}^{*}(N-1)\\ R_{xx}(1)& R_{xx}(0)& R_{xx}^{*}(1)& \cdots & R_{xx}^{*}(N-2)\\ R_{xx}(2)& R_{xx}(1)& R_{xx}(0)& \cdots & R_{xx}^{*}(N-3)\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ R_{xx}(N-1)& R_{xx}(N-2)& R_{xx}(N-3)& \cdots & R_{xx}(0)\end{array}\right]$

La matriz es hermitiana y matriz de Toeplitz. Si $𝐱$ es estacionaria, entonces la matriz de autocorrelación será definida con valores positivos.

La matriz de autocovarianza está relacionada con la matriz de autocorrelación de la siguiente manera:

${𝐂}_x=\mathrm{E}[(𝐱-{𝐦}_x)(𝐱-{𝐦}_x{)}^H]={𝐑}_x-{𝐦}_x{𝐦}_x^H$

Donde ${𝐦}_x$ es el vector promedio de la señal $𝐱$ para cada índice de tiempo.

Referencias

• Hayes, Monson H., Statistical Digital Signal Processing and Modeling, John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8.