Matriz estocástica

Para una matriz cuyos elementos son estocásticos, véase matriz aleatoria

Definición

En matemáticas, una matriz estocástica (también denominada matriz de probabilidad, matriz de transición, matriz de sustitución o matriz de Markov) es una matriz utilizada para describir las transiciones en una cadena de Markov. Ha encontrado uso en la teoría de la probabilidad, en estadística y en álgebra lineal, así como en informática.

En general, una matriz estocástica se define como sigue

Decimos que una matriz cuadrada $A\in {ℝ}^{n\times n}$ dada por

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{31}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

es estocástica si

1. $a_{ij}\ge 0$
2. $\sum _j{a}_{ij}=1$ para cada $i$ fijo.

El ejemplo más sencillo de una matriz estocástica es la matriz identidad de tamaño $n\times n$

$I=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

pues satisface las dos condiciones.

Matriz Doblemente Estocástica

Una matriz $A\in {ℝ}^{n\times n}$ se dice que es doblemente estocástica si es una matriz estocástica y además $\sum _i{a}_{ij}=1$ para cada $j$ fijo.

Vector Estocástico

De la misma manera, puede definirse un vector estocástico como un vector cuyos elementos están formados por números reales positivos que suman $1$. Así, cada fila (o columna) de una matriz estocástica es un vector de probabilidad, también llamados vectores estocásticos.