Matriz traspuesta conjugada

Plantilla:Otros usos En matemáticas, la matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz $A$, es una matriz $A^{†}$(también denotada como $A^{*}$, o como $A^H$) obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.

El traspuesto conjugado de una matriz $A=(a_{ij})\in ℂ$ es definido como $A^{*}=({\overline{a}}_{ji})$, que es el traspuesto de $A$ y todos los elementos $a_{ij}$ conjugados. Nota que si $A=(a_{ij})\in ℝ\Rightarrow A^{*}=A^T$, es decir, si los elementos de $A$ son reales, la adjunta de $A$ coincide con su traspuesta. También nombrado hermítico adjunto, la hermítica o hermítico conjugado. El nombre viene del matemático Charles Hermite.

Definición

Si $𝐀$ es una matriz de n x m sobre los complejos: $A\in M_{n\times m}(ℂ)$ de la forma:

$𝐀=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2m}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3m}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nm}\end{array}\right)$

Entonces la adjunta se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento y después permutando de filas por columnas o viceversa en la matriz $𝐀$, produce a la matriz traspuesta:

${𝐀}^{†}=\left(\begin{array}{ccccc}{\overline{a}}_{11}& {\overline{a}}_{21}& {\overline{a}}_{31}& \cdots & {\overline{a}}_{n1}\\ {\overline{a}}_{12}& {\overline{a}}_{22}& {\overline{a}}_{32}& \cdots & {\overline{a}}_{n2}\\ {\overline{a}}_{13}& {\overline{a}}_{23}& {\overline{a}}_{33}& \cdots & {\overline{a}}_{n3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\overline{a}}_{1m}& {\overline{a}}_{2m}& {\overline{a}}_{3m}& \cdots & {\overline{a}}_{mn}\end{array}\right)$

Ejemplo

Una matriz $A=\left(\begin{array}{cc}2i& 6-i\\ 3+i& 4\end{array}\right)$ tiene el traspuesto conjugado $A^{†}=\left(\begin{array}{cc}-2i& 3-i\\ 6+i& 4\end{array}\right)$

Propiedades

Una matriz cuadrada ${𝐀}^{†}$ será una matriz autoadjunta, si y solo sí, n = m y ${𝐀}^{†}=𝐀$. Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones, a partir de la definición se tienen las siguientes propiedades:

1. $(A^{†}{)}^{†}=A$, involución.
2. $(A+B{)}^{†}=A^{†}+B^{†}$, adición de matrices.
3. $\mathrm{\forall }r\in ℂ,(rA{)}^{†}=r^{*}{A}^{†}$, producto por escalares.
4. $(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$, inversión de la multiplicación
5. $(A^{-1}{)}^{†}=(A^{†}{)}^{-1}$ si la matriz es invertible.

Referencias

Bibliografía

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.