Media generalizada

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números a y b.

La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:

$M_m(x_1,\dots ,x_n)=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^m\right)}^{\frac{1}{m}}& \text{si}m=0\\ {\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}& \text{si}m=0\end{array}$

En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

$M_{\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\max (x_1,\dots ,x_n)$

$M_2(x_1,\dots ,x_n)=$ media cuadrática

$M_1(x_1,\dots ,x_n)=$ media aritmética

$M_0(x_1,\dots ,x_n)=$ media geométrica

$M_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=$ media armónica

$M_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\min (x_1,\dots ,x_n)$

Definición

Sea $x$ una variable discreta que asume los $n$ valores positivos Plantilla:Ecuación, el número

se denomina media potencial de grado $\beta$ de los números $x_1,x_2,...x_n$. En particular, el número

Plantilla:Ecuación

es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número

se llama media cuadrática;, finalmente, el número

Plantilla:Ecuación

se denomina media armónica de los números $x_1,x_2,...x_n$.

Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado $\beta$, de modo que puede asumir cualquier valor real Plantilla:Ecuación

Y el valor de x debe ser positivo.

Proposiciones

Comparación con la media geométrica

Si $x_1,x_2,...,x_n$ son números positivos y, a su vez, $k<0<l$ entonces se cumple

$c_k\le G\le c_l$

donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

Producto versus suma de n-ésinas potencias

Dado los números positivos x₁, x₂,..., x_n se cumple que

nx₁ x₂... x_n ≤ x₁ⁿ + x₂ⁿ + x_nⁿ

Monotonía de la media potencial respecto al grado

Si x₁, x₂,..., x_n son números posiivos y m < p, se tiene C _m≤ C_p. Ocurre la igualdad C _m = C_p únicamente si

x₁ = x₂ =... = x_n.

Relación de orden entre diversas medias potenciales

Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c₀, se tiene la siguiente sucesión

c_-1 ≤ c₀ ≤ c₁ ≤ c₂

Propiedades

$M_i(x_1,\dots ,x_n)\le M_j(x_1,\dots ,x_n)\text{ si }i<j$

Para $x_1,\dots ,x_n\text{ fijos: }M(m)=M_m(x_1,\dots ,x_n)$ es continua respecto a $m\in ℝ$. Obsérvese que para valores de $m\le 0$ la expresión solo tiene sentido si todos los $x_i\ge 0$.

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.

Aplicaciones

Media geométrica

En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)

Radio promedio

Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.

Sean r₁= 6, r₂ = 8, r₃ = 11 y r₄ = 15.

Se aplica la media cuadrática

$r_m=\sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2}{4}}$

y para los valores respectivos resulta el valor del radio:

$r_m=10.56$

lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería

$r_a=10$

Medida promedial de arista

Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.

Sean a₁ = 8, a₂ = 10 y a₃ = 12

En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3

$a_m=\sqrt[3]{\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3}{3}}$

y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:

$a_m=10.26$

resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería

$a=10$

Velocidad promedio

Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de $40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ y aguas arriba a la velocidad de $25\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$, hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores $v_1=40,v_2=25$,

$v_p=(\frac{v_1^{-1}+v_2^{-1}}{2}{)}^{-1}$

, para los datos dados, resulta

$v_p=30,77\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$

distinto al promedio aritmético

$\frac{40+25}{2}=32,5\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$

.

Véase también

• Media aritmética
• Media armónica
• Media cuadrática
• Media geométrica
• Media heroniana

Notas y referencias

Bibliografía

Korovkin. Desigualdades. Ediciones Mir, Moscú.