Medida exterior

Una medida exterior sobre un cierto conjunto X es una función $\mu$ que asocia a cada subconjunto E de X un valor comprendido entre 0 e infinito (i.e., $\mu :𝒫(X)\to [0,+\mathrm{\infty }]$) y que satisface tres propiedades:

1. $E_1\subset E_2\subset X\Rightarrow \mu (E_1)\le \mu (E_2)\text{(monotonía)}$
2. $\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k\right)\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_k)\text{(subaditividad numerable)}$
3. $\mu (\varnothing )=0$

Si hacemos $E_j=\varnothing$ para $j\ge n$ en la propiedad 2, podemos notar que una medida exterior es finitamente subaditiva.

El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir, a partir de ellas, una medida en X.

Referencias

• Folland, Gerald B. (1984): Real analysis. Jhon Wiley & Sons. ISBN 0-471-80958-6 p. 28