Medida sigma-finita

En teoría de la medida, una medida sigma-finita ($\sigma$-finita) de un cierto espacio de medida es una medida tal que el espacio se puede obtener como unión numerable de conjuntos de medida finita. Trabajar sobre espacios medibles equipados con una medida $\sigma$-finita es interesante, pues hay muchos resultados que trabajan sobre ellos, trayendo consigo consecuencias importantes, como por ejemplo, el Teorema de Fubini.

Definición

Sea $(X,𝒜,\mu )$ un espacio de medida. Se dice que $\mu$ es una medida $\sigma$-finita (o simplemente diremos que $\mu$ es $\sigma$-finita) si

$X=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n,\text{donde }{\left\{A_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq 𝒜\text{ con }\mu \left(A_n\right)<\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }n\ge 1$

Así, si $\mu$ es $\sigma$-finita, diremos que el espacio $(X,𝒜,\mu )$ es un espacio de medida $\sigma$-finito.

Ejemplos

1. El espacio $({ℝ}^d,ℬ\left({ℝ}^d\right),\lambda )$ es un espacio $\sigma$-finito, donde $ℬ\left({ℝ}^d\right)$ es la $\sigma$-álgebra de Borel sobre ${ℝ}^d$, y $\lambda$ es la medida de Lebesgue sobre ${ℝ}^d$. En efecto, denotemos a la bola abierta centrada en $x\in ℝ$ y radio $r>0$ por $B(x,r)=\{y\in ℝ:||x-y||<r\}$, donde $||\cdot ||$ denota la norma euclidiana sobre ${ℝ}^d$. Como sobre $({ℝ}^d,{\tau }_{{ℝ}^d})$ se tiene que una base para la topología ${\tau }_{{ℝ}^d}$ es la familia formada por bolas abiertas, tenemos que, existe $r>0$ tal que ${ℝ}^d=\bigcup _{x\in {ℝ}^d}B(x,r)$, teniendo que $\lambda (B(x,r))<\mathrm{\infty }$. Por tanto, $({ℝ}^d,ℬ\left({ℝ}^d\right),\lambda )$ es un espacio $\sigma$-finito.