Modelo Landau-Lifshitz

En física del estado sólido, la ecuación de Landau-Lifshitz (LLE), llamada así por Lev Landau y Evgeny Lifshitz, es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal del magnetismo en sólidos, dependiendo de una variable de tiempo y una, dos o tres variables de espacio.

Ecuación de Landau-Lifshitz

El LLE describe un imán anisotrópico. La ecuación es descrita en Plantilla:Cita Harvard de la siguiente manera: Es una ecuación para un campo vectorial S, en otras palabras, una función en R^{1+ n} que toma valores en R³. La ecuación depende de una matriz J simétrica fija de 3 por 3, que generalmente se asume que es diagonal, es decir, $J=\mathrm{diag}(J_1,J_2,J_3)$ . Está dado por la ecuación de movimiento de Hamilton para el hamiltoniano

$H=\frac{1}{2}\int [\sum _i{\left(\frac{\partial 𝐒}{\partial x_i}\right)}^2-J(𝐒)]dx(1)$

(donde J ( S ) es la forma cuadrática de J aplicada al vector S ) que es

$\frac{\partial 𝐒}{\partial t}=𝐒\wedge \sum _i\frac{{\partial }^2𝐒}{\partial x_i^2}+𝐒\wedge J𝐒.(2)$

En dimensiones 1 + 1 esta ecuación es

$\frac{\partial 𝐒}{\partial t}=𝐒\wedge \frac{{\partial }^2𝐒}{\partial x^2}+𝐒\wedge J𝐒.(3)$

En 2 + 1 dimensiones, esta ecuación toma la forma

$\frac{\partial 𝐒}{\partial t}=𝐒\wedge (\frac{{\partial }^2𝐒}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2𝐒}{\partial y^2})+𝐒\wedge J𝐒(4)$

que es el LLE (2 + 1) -dimensional. Para el caso (3 + 1) -dimensional, LLE parece

$\frac{\partial 𝐒}{\partial t}=𝐒\wedge (\frac{{\partial }^2𝐒}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2𝐒}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2𝐒}{\partial z^2})+𝐒\wedge J𝐒.(5)$

Reducciones integrables

En general, LLE (2) no es integrable. Pero admite las dos reducciones integrables:

a) en las dimensiones 1 + 1, es decir la Ec. (3), es integrable

b) cuando $J=0$ . En este caso, el (1 + 1) -dimensional LLE (3) se convierte en la ecuación clásica continua ferromagnética de Heisenberg (ver p. Ej. Modelo de Heisenberg (clásico) ) que ya es integrable.

Véase también

• Ecuación de Schrödinger no lineal
• Modelo de Heisenberg (clásico)
• Onda de espín
• Micromagnetismo
• Ecuación de Ishimori
• Imán
• Ferromagnetismo

Referencias

• Plantilla:Obra citada
• Plantilla:Obra citada
• Kosevich A.Plantilla:Esdm., Ivanov B.Un., Kovalev Un.S. Nonlinear Olas de magnetización. Dinámico y topológico solitons. @– Kiev: Naukova Dumka, 1988. @– 192 p.