Número de Descartes

En teoría de números, un número de Descartes es un número impar que hubiera sido un número perfecto si uno de sus factores compuestos se considerase como si fuera un número primo. Llevan el nombre de René Descartes (1596-1650), quien observó que el número Plantilla:Math sería un número perfecto impar solo si Plantilla:Math fuera un número primo, ya que la suma de sus divisores para Plantilla:Math cumpliría, si 22021 fuera primo, la condición de que

$\begin{array}{cc}\sigma (D)& =(3^2+3+1)\cdot (7^2+7+1)\cdot (11^2+11+1)\cdot (13^2+13+1)\cdot (22021+1)\\ & =(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\ & =3^2\cdot 7\cdot 13\cdot 19^2\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)\\ & =2\cdot (3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot (19^2\cdot 61)\\ & =2\cdot (3^2\cdot 7^2\cdot 11^2\cdot 13^2)\cdot 22021\\ & =2D\end{array}$

donde se ignora el hecho de que 22021 es un número compuesto (Plantilla:Math).

Un número de Descartes se define como un número impar Plantilla:Math donde Plantilla:Math y Plantilla:Math son números coprimos y Plantilla:Math, de donde Plantilla:Math se toma como un primo 'falso'. El ejemplo dado es el único conocido actualmente.

Si Plantilla:Math es un número casi perfecto impar, es decir, si Plantilla:Math y Plantilla:Math se toman como un primo 'falso', entonces Plantilla:Math es un número de Descartes, ya que Plantilla:Math. Si Plantilla:Math fuera primo, Plantilla:Math sería un número perfecto impar.

Propiedades

Banks et al. demostraron en 2008 que si Plantilla:Math es un número de Descartes entero libre de cuadrados y no divisible por $3$, entonces Plantilla:Math tiene más de un millón de divisores primos distintos.

Generalizaciones

John Voight generalizó los números de Descartes permitiendo bases negativas. Encontró el ejemplo $3^4{7}^{2}11^{2}19^2(-127{)}^1$. El trabajo posterior de un grupo en la Universidad Brigham Young encontró más ejemplos similares al localizado por Voight.

Véase también

• Número de Erdős-Nicolas, otro tipo de número casi perfecto

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book