Número de Elsasser

El número de Elsasser, Λ, es un número adimensional en magnetohidrodinámica que representa la relación entre las fuerzas magnéticas y la fuerza de Coriolis.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad
${\mathrm{\Lambda }}_i$	Número de Elsasser impuesto
${\mathrm{\Lambda }}_d$	Número de Elsasser dinámico
$\mathrm{E}\mathrm{k}$	Número de Ekman
${\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}$	Número de Prandtl magnético
${\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}$	Número de Reynolds magnético
	Dimensiones
$\ell$		m
$L$	Longitud	m
$d$	Dimensión de sección transversal	m
$t$	Tiempo	s
	Magnético
$B$	Densidad de flujo magnético	T
$H$	Fuerza de campo magnético	A / m
${\rho }_m$	Densidad de energía magnética	J / m3
$q$	Carga	C
$\eta$	Difusividad magnética	m2 / s
${\mu }_0$	Permeabilidad en el vacío	H / m
$\theta$	Ángulo entre velocidad ($u$) y campo magnético ($B$)
	Materia
$m$	Masa	kg
$\dot{m}$	Flujo másico	kg / s
$u$	Velocidad	m / s
$\rho$	Densidad	kg / m3
$\nu$	Viscosidad cinemática	m2 / s
	Planeta
$\varphi$	Latitud
$\mathrm{\Omega }$	Velocidad de rotación del cuerpo	m / s

Descripción

Se define como:

$\mathrm{\Lambda }=\frac{\text{Fuerza magnética}}{\text{Fuerza de Coriolis}}$

${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{quB\sin \theta }{\dot{m}L(2\mathrm{\Omega }\sin \varphi )}$

Número de Elsasser Impuesto (Bajo ${\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}$)

Deducción

	1	2	3	4	5	6
Ecuaciones	${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{quB}{\dot{m}L(2\mathrm{\Omega })}$	$\dot{m}=\frac{m}{t}$	$u=\frac{L}{t}$	$\rho =\frac{m}{d^{2}L}$	$\eta =\frac{d^2}{t}$	${\mu }_0=B\left(\frac{Lt}{q}\right)$
Sustituyendo	${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{q(L/t)B}{(m/t)L(2\mathrm{\Omega })}$
Multiplicando $\left(\frac{B{d}^2}{B{d}^2}\right)$	${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{q(L/t)B}{(m/t)L(2\mathrm{\Omega })}\left(\frac{B{d}^2}{B{d}^2}\right)$
Ordenando	${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{B^2}{2[m/(d^{2}L)][d^2/t][B(Lt/q)]\mathrm{\Omega }}$
Sustituyendo	${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{B^2}{2\rho \eta {\mu }_0\mathrm{\Omega }}$

${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{B^2}{2\rho \eta {\mu }_0\mathrm{\Omega }}$

Deducción

	1	2	3	4
Ecuaciones	${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{B^2}{2\rho \eta {\mu }_0\mathrm{\Omega }}$	${\rho }_m=\frac{B^2}{{\mu }_0}$	${\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}=\frac{\nu }{\eta }$	$\mathrm{E}\mathrm{k}=\frac{\nu }{L^2(2\mathrm{\Omega })}$
Multiplicando $\left(\frac{{\nu }^2{L}^2}{{\nu }^2{L}^2}\right)$	${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{B^2}{2\rho \eta {\mu }_0\mathrm{\Omega }}\left(\frac{{\nu }^2{L}^2}{{\nu }^2{L}^2}\right)$
Ordenando	${\mathrm{\Lambda }}_i=\left(\frac{L^2}{{\nu }^2\rho }\right)\left(\frac{B^2}{{\mu }_0}\right)\left(\frac{\nu }{\eta }\right)\left(\frac{\nu }{L^2(2\mathrm{\Omega })}\right)$
Sustituyendo	${\mathrm{\Lambda }}_i=\left(\frac{L^2}{{\nu }^2\rho }\right){\rho }_m{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}\mathrm{E}\mathrm{k}$
Simplificando	${\mathrm{\Lambda }}_i=\left(\frac{L}{\nu }{)}^2\right(\frac{{\rho }_m}{\rho }){\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}\mathrm{E}\mathrm{k}$

${\mathrm{\Lambda }}_i=\left(\frac{L}{\nu }{)}^2\right(\frac{{\rho }_m}{\rho }){\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}\mathrm{E}\mathrm{k}$

Número de Elsasser dinámico (Alto ${\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}$)

Deducción

	1	2	3	4
Ecuaciones	${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho \eta {\mu }_0\mathrm{\Omega }}$	$\eta =\frac{d^2}{t}$	$u=\frac{L}{t}$	$\ell =\frac{d^2}{L}$
Sustituyendo	${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho (d^2/t){\mu }_0\mathrm{\Omega }}$
Multiplicando $\left(\frac{L}{L}\right)$	${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho (d^2/t){\mu }_0\mathrm{\Omega }}\left(\frac{L}{L}\right)$
Ordenando	${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho {\mu }_0(L/t)(d^2/L)\mathrm{\Omega }}$
Sustituyendo	${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho {\mu }_{0}u\ell \mathrm{\Omega }}$

${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho {\mu }_{0}u\ell \mathrm{\Omega }}$

Deducción

	1	2	3
Ecuaciones	${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho {\mu }_{0}u\ell \mathrm{\Omega }}$	${\mathrm{\Lambda }}_i=\frac{B^2}{2\rho \eta {\mu }_0\mathrm{\Omega }}$	${\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\frac{ud}{\eta }$
Multiplicando $\left(\frac{\eta d}{\eta d}\right)$	${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho {\mu }_{0}u\ell \mathrm{\Omega }}\left(\frac{\eta d}{\eta d}\right)$
Ordenando	${\mathrm{\Lambda }}_d=\frac{B^2}{2\rho (\eta ){\mu }_0\mathrm{\Omega }}\left(\frac{d}{[(ud)/\eta ]\ell }\right)$
Sustituyendo	${\mathrm{\Lambda }}_d={\mathrm{\Lambda }}_i\left(\frac{d}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}\ell }\right)$

${\mathrm{\Lambda }}_d={\mathrm{\Lambda }}_i\left(\frac{d}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}\ell }\right)$

Bibliografía

• Gubbins, David, and Emilio Herrero-Bervera, eds. Encyclopedia of geomagnetism and paleomagnetism. Springer Science & Business Media, 2007.