Número racional gaussiano

En matemáticas, los números racionales gaussianos, o simplemente racionales gaussianos, son los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números racionales. Forman el cuerpo Q(i) de los números gaussianos, que tiene como anillo de números enteros a los números gaussianos enteros Z[i]. Los estudió por primera vez el matemático alemán Carl Friedrich Gauss.

Definición

Se dice que el número complejo z es número gaussiano si y solo si $z=p+qi$, donde $p,q\in 𝐐$

Norma

La norma del número gaussiano $z=p+qi$ es:

$N(z)=z\overline{z}=(p+qi)\cdot (p-qi)=p^2+q^2$,

que es siempre un número racional positivo.

Propiedades

• Grupo abeliano: El conjunto Q(i) con la adición de números gaussianos es un grupo abeliano, que tiene un subgrupo propio: el conjunto Z[i] de los gaussianos enteros.
• Cuerpo: El conjunto Q(i) con la adición y la multiplicación de números gaussianos es un cuerpo conmutativo

Véase también

• Número racional
• Grupo
• Cuerpo
• Operación binaria