Notación de Landau

En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

Definición

La notación de Landau (Edmund Landau) se define de la siguiente forma:

Si f(x), g(x) son funciones complejas definidas en un entorno de un punto $x_0$, entonces

• $f=O(g)$ cuando $x\to x_0$ si y sólo si existe un $ϵ>0$ tal que $|f(x)|\le ϵ|g(x)|$ para todo $x$ en un entorno de $x_0$.
• $f=o(g)$ cuando $x\to x_0$ si y sólo si para todo $ϵ>0$ tenemos que $|f(x)|<ϵ|g(x)|$ para todo $x$ en un entorno de $x_0$.

Una versión un poco más restrictiva pero más manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean $f(x)$, $g(x)$ dos funciones definidas para $x>x_0.$ y sea $g(x)\ne 0\mathrm{\forall }x>x_0$. Los símbolos

$f=o(g)$ , $f=O(g)$

significan respectivamente que $f(x)/g(x)\to 0$ cuando $x\to x_0$, y que $f(x)/g(x)$ está acotado para $x$ suficientemente grande. La misma notación es usada cuando $x$ tiende a un límite finito o a $-\mathrm{\infty }$, o también cuando $x$ tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es $o(1)$ o $O(1)$ si tal expresión tiende a cero o está acotada respectivamente.

Dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ definidas en una vecindad de un punto $x_0$ (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si $f(x)/g(x)\to 1$ cuando $x\to x_0$

Si las fracciones $f(x)/g(x)$, $g(x)/f(x)$ están acotadas en una vecindad de $x_0$ se dice que $f(x)$, $g(x)$ son del mismo orden cuando $x\to x_0$

Propiedades

Contexto de las propiedades

Sean $a,b\in ℝ$ y supóngase que $f$ es una función definida sobre un intervalo finito o infinito $a\le x<b$ y es integrable sobre cualquier intervalo $(a,b^{\prime })$ con $b^{\prime }<b$ podemos escribir

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}tx\in (a,b^{\prime })$

Sea $u_0,u_1,u_2,\dots$ una sucesión de números y sea

$U_{\nu }=u_0+u_1+\cdots +u_{\nu }(\nu =0,1,\dots )$

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

1. Suponga que $f(x)$, $g(x)$ están definidas en $a\le x<b$ e integrables sobre cualquier $(a,b^{\prime })$, que $g(x)\ge 0$ y que $G(x)\to +\mathrm{\infty }$ cuando $x\to b$. Si $f(x)=o(g(x))$ cuando $x\to b$, entonces también se tendrá que $F(x)=o(G(x))$
2. Sean $\{u_{\nu }\},\{v_{\nu }\},$ dos sucesiones de números, esta última positiva. Si $\{u_{\nu }\}=o\{v_{\nu }\},$ y $V_{\nu }\to +\mathrm{\infty }$, entonces $U_{\nu }=o(V_{\nu })$
3. Suponga que la serie $\sum v_{\nu }$ converge, que los $v$'s son positivos, y que $u_{\nu }=o(v_{\nu })$. entonces$u_{\nu }+u_{\nu +1}+\cdots =o(v_{\nu }+v_{\nu +1}+\cdots )$
4. Sea $f(x)$ una función positiva, monótona y finita definida para $x\ge 0$ y sea$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f\mathrm{d}t,F_n=f(0)+f(1)+\cdots +f(n).$Entonces
   $(i)$ si $f(x)$ decrementa, $F(n)-f_n$ tiende a un límite finito
   $(ii)$ si $f(x)$ incrementa, $F(n)\le F_n\le F(n)-f(n{)}_n\to +\mathrm{\infty }$
5. Sea $f(x)$ positiva, finita y monótona para $x\ge 0$. Si se cumple $(i)$ $f(x)$ incrementa y $F(x)\to \mathrm{\infty }$ o $(ii)$ $f(x)$ incrementa y $f(x)=o(F(x))$, entonces $F_n$ es asintóticamente igual a $F(n)$ $$

Véase también

• Cota superior asintótica
• Cota inferior asintótica
• Cota ajustada asintótica

Bibliografía

• Trigonometric Series, vol.Plantilla:Esd1, A.Plantilla:EsdZygmund.