Número ordinal (teoría de conjuntos)
En teoría de conjuntos, un número ordinal, o simplemente ordinal, es un representante del tipo de orden de un conjunto bien ordenado. De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados. Fueron introducidos por Georg Cantor en 1897.
Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los números naturales 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son isomorfos en cuanto al orden. Al primer ordinal infinito se le denota Plantilla:Math.
En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distinción más fina que los cardinales, que sólo representan la cantidad de elementos. Así, mientras sólo existe un cardinal infinito numerable Plantilla:Math, existen infinitos ordinales infinitos y numerables: Plantilla:Ecuación que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales.
Introducción histórica
En su obra Fundamentos para una teoría general de conjuntos, Georg Cantor introdujo la idea de los números transfinitos como una generalización de los números naturales.[1] Observando la sucesión de los números naturales: Plantilla:Ecuación afirmaba que esta descansa sobre «el principio de agregar una unidad a un número ya formado y disponible». A este principio, que Cantor denominó "primer principio de generación", se añadía la posibilidad de considerar un nuevo número, ω, mayor que todos los números naturales (que por supuesto no es ninguno de ellos), y aplicar de nuevo el primer principio Plantilla:Ecuación Esta segunda sucesión de «números» Plantilla:Math se prestaba igualmente a considerar un número mayor que toda ella, Plantilla:Math. En resumen, Cantor introducía el "segundo principio de generación", el cual Plantilla:Cita Esta sucesión puede entonces continuarse indefinidamente: Plantilla:Ecuación Usando esta sucesión de números transfinitos, Cantor pudo estudiar el concepto de número ordinal. Un número natural puede utilizarse para representar la posición dentro de una sucesión ordenada: 1.º, 2.º, 3.º,... Cantor descubrió que cualquier sucesión ordenada, finita o infinita, está «contenida» en la sucesión de números transfinitos (concretamente, cualquier sucesión bien ordenada). También dentro de esta sucesión se encuentran los números cardinales, que representan el «número de elementos» de un conjunto infinito.
Definición
Conjuntos bien ordenados
Plantilla:AP Un conjunto bien ordenado es un conjunto con una relación de orden entre sus elementos que verifica que dada cualquier subcolección no vacía de sus elementos, esta posee un elemento mínimo. La importancia de los conjuntos bien ordenados reside en la inducción transfinita, que afirma que en un conjunto Plantilla:Math de estas características, las propiedades que un elemento hereda de sus predecesores son poseídas por la totalidad de los elementos de Plantilla:Math.
Un ordinal es un objeto matemático que clasifica todos los distintos conjuntos bien ordenados posibles. Por supuesto, ha de evitarse la posibilidad de clasificar con ordinales diferentes dos conjuntos bien ordenados distintos que en el fondo constituyan un «reetiquetado» el uno del otro.
Clases de equivalencia
Una posible definición para clasificar todos los tipos de orden posible es agrupar a todos los conjuntos bien ordenados isomorfos bajo orden en una clase de equivalencia. Este es el enfoque que se tomó en los Principia Mathematica. Está definición ha de ser abandonada en ZF y demás sistemas axiomáticos relacionados, puesto que dichas clases de equivalencia son demasiado grandes para formar un conjunto.
Definición de von Neumann
En lugar de definirlo como una clase de equivalencia, el procedimiento más habitual para clasificar los buenos órdenes es escoger un representante canónico, de manera unívoca, en cada una de estas clases. La definición estándar, sugerida por John von Neumann es:[2] Plantilla:Definición La construcción estándar de los números naturales en teoría de conjuntos asegura que estos son ordinales. En esta construcción se define el cero como el conjunto vacío 0 ≡ Plantilla:Unicode = {}, y a partir de ahí, cada número se define como el conjunto que contiene a los anteriores: 1 ≡ {0}, 2 ≡ {0, 1}, etc.
De la definición dada por von Neumann puede probarse: Plantilla:Teorema Al (único) ordinal isomorfo a un conjunto bien ordenado Plantilla:Math se le denota por Plantilla:Math o Plantilla:Math.
Clasificación
Puede demostrarse que si Plantilla:Math es un ordinal, también lo es Plantilla:Math. Este es el llamado ordinal siguiente a Plantilla:Math, y es el menor ordinal mayor que Plantilla:Math. Los ordinales diferentes de cero se dividen en dos clases bien diferenciadas: Plantilla:Definición Por ejemplo, todos los números naturales mayores que cero, Plantilla:Math, son ordinales sucesores. El ordinal de los números naturales Plantilla:Math es un ordinal límite (el primero de ellos).
Inducción transfinita
Plantilla:AP Los números ordinales poseen una propiedad similar al principio de inducción de los números naturales. Si una colección de ordinales incluye al 0, y a cualquier ordinal siempre que incluya a sus precedecesores, entonces dicha colección es Plantilla:Math, esto es, contiene todos los ordinales.
Este argumento puede refinarse en el llamado principio de inducción transfinita, separando en casos según el tipo de ordinal: Plantilla:Teorema donde Plantilla:Math se refiere a un ordinal límite.
Una aplicación importante de este principio es la recursión transfinita, que permite definir una función sobre los ordinales, especificando la imagen de un ordinal a partir de las imágenes de sus predecesores: Plantilla:Teorema donde Plantilla:Math es la restricción de Plantilla:Math en Plantilla:Math.
Aritmética ordinal
Plantilla:AP Pueden definirse unas operaciones de suma, multiplicación y exponenciación de ordinales de manera natural, mediante recursión transfinita o mediante definiciones «geométricas». Estas operaciones extienden la aritmética de los números naturales.
Véase también
Referencias
Enlaces externos
Plantilla:Control de autoridades
- ↑ Para esta introducción y las citas en ella, véase Plantilla:Harvsp.
- ↑ Esta definición asume el axioma de regularidad. De otro modo, a la definición se le debería añadir el requisito de que Plantilla:Math sea regular.