Axioma de regularidad

En teoría de conjuntos, el axioma de regularidad o axioma de fundación es un axioma que postula que ciertos conjuntos «patológicos», como por ejemplo un conjunto que se contenga a sí mismo como elemento, no pueden existir. Fue propuesto por Von Neumann y Zermelo entre 1925 y 1930.

Enunciado

La manera en la que se enuncia el axioma de regularidad es asegurando que cada conjunto posee un elemento que es disjunto con él: Plantilla:Definición Una manera equivalente de enunciar el axioma de regularidad es afirmando que todos los conjuntos son regulares, es decir, que la relación de pertenencia Plantilla:Unicode vista como un orden parcial tiene un elemento mínimo en todos los conjuntos. En particular, esto prohíbe la existencia de una sucesión infinita de conjuntos de la forma Plantilla:Math De este modo, es sencillo entender que el axioma de regularidad prohíbe la existencia de conjuntos «patológicos» —no regulares— como por ejemplo:

• Un conjunto que sea su único elemento, Plantilla:Math. Se tendría entonces que Plantilla:Math
• Una pareja de conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math tales que Plantilla:Math}, Plantilla:Math. Se cumpliría Plantilla:Math

Rango

Una de las consecuencias más importantes del axioma de regularidad es la clasificación de todos los conjuntos por «etapas», construidas a partir del conjunto vacío mediante la reiterada aplicación de la potenciación de conjuntos. Se define para cada ordinal, según sea 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite: Plantilla:Definición Se tiene entonces el siguiente teorema: Plantilla:Teorema Por esto, el axioma de regularidad se denota usualmente como «Plantilla:Math», es decir, la clase universal (de la totalidad de conjuntos) y la clase Plantilla:Math de los conjuntos regulares (la unión de todos los Plantilla:Math) son idénticas. Puede clasificarse entonces cada conjunto regular en algún Plantilla:Math: Plantilla:Definición

Consistencia relativa

El axioma de regularidad (Plantilla:Math) es totalmente independiente del resto de axiomas de ZF y NBG. La clase Plantilla:Math de los conjuntos regulares es un modelo del resto de axiomas de ZF, luego de estos no puede probarse la existencia de un conjunto no regular, y asumir Plantilla:Math es consistente. De modo similar, puede construirse un modelo del resto de ZF en el que aparezcan conjuntos del tipo Plantilla:Math, luego es imposible probar la regularidad de todos los conjuntos, y asumir Plantilla:Math también es consistente.

Referencias

• Plantilla:Cita libro En II.5 describe el axioma de regularidad.
• Plantilla:Cita libro