Octaedro truncado

El Octaedro truncado es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un octaedro. También denominado tetracaidecaedro o poliedro de Kelvin, por ser este el que demostró la singularidad de que es el único poliedro semirregular que puede llenar el espacio por repetición de sí mismo.

Construcción

Un octaedro truncado se construye a partir de un octaedro regular de longitud lateral $3a$, al cual se le eliminan seis pirámides cuadradas, una en cada vértice. Dichas pirámides tienen una longitud de base $a$ y una longitud lateral $e=a$, formando triángulos equiláteros. Siendo el área de cada uno de estos de $a^2$. Tenga en cuenta que cada una de estas formas son exactamente medios octaedros y al estar eliminando 3 pares de estas pirámides, se forman 3 octaedros también regulares de arista $a$.

De las propiedades de las pirámides cuadradas, podemos calcular la altura inclinada, $s$, y la altura, $h$, de la pirámide:

$\begin{array}{cccc}h& =\sqrt{e^2-\frac{1}{2}{a}^2}& & =\frac{1}{\sqrt{2}}a\\ s& =\sqrt{h^2+\frac{1}{4}{a}^2}& & =\sqrt{\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{4}{a}^2}& & =\frac{\sqrt{3}}{2}a\end{array}$

El volumen, $h$, esta dado por:

$V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$

Ya que se eliminan las seis pirámides por truncamiento, resultando una pérdida de volumen de $\sqrt{2}{a}^3$.

Área y volumen

El área $A$ y el volumen $V$ de un octaedro truncado cuya arista mide $a$ son:

$A=6(2\sqrt{3}+1)\approx 26.7846097a^2$

$V=8\sqrt{2}{a}^3\approx 11.3137085a^3$

Véase también

• Sólidos platónicos
• Sólidos de Catalan
• Sólidos de Johnson
• Poliedros duales