Operador multiplicación

En teoría de operadores, un operador de multiplicación^[1] es un tipo de operador Plantilla:Math definido en algún espacio vectorial de funciones y cuyo valor en una función Plantilla:Mvar viene dado por la multiplicación por una función fija Plantilla:Mvar.

Esto es

T_{f} φ (x) = f (x) φ (x)

para todo Plantilla:Mvar en el dominio de Plantilla:Math, y todo Plantilla:Mvar en el dominio de Plantilla:Mvar (que es el mismo que el dominio de Plantilla:Mvar).

Este tipo de operador a menudo se compara con el operador composición. Los operadores de multiplicación generalizan la noción de operador dada por una matriz diagonal. Más precisamente, uno de los resultados de la teoría de operadores es un teorema de descomposición espectral que establece que cada operador autoadjunto en un espacio de Hilbert es unitariamente equivalente para un operador de multiplicación en un espacio L².

Ejemplo

Considérense en un espacio de Hilbert las funciones Plantilla:Math de cuadrado integrable con valores complejos en el intervalo cerrado [−1, 3]. Con Plantilla:Math, se define el operador

T_{f} φ (x) = x^{2} φ (x)

para cualquier función Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar. Este será un operador lineal acotado autoadjunto, con dominio todo el intervalo Plantilla:Math y con norma Plantilla:Math. Su espectro será el intervalo [0, 9] (el rango de la función Plantilla:Math definida sobre [−1, 3]). De hecho, para cualquier número complejo Plantilla:Mvar, el operador Plantilla:Math viene dado por

(T_{f} - λ) (φ) (x) = (x^{2} - λ) φ (x) .

Es invertible si y solo si Plantilla:Mvar no está en [0, 9], y entonces su inversa es

(T_{f} - λ)^{- 1} (φ) (x) = \frac{1}{x^{2} - λ} φ (x),

que es otro operador de multiplicación.

Esto se puede generalizar fácilmente para caracterizar la norma y el espectro de un operador de multiplicación en cualquier espacio L^p.