Orden (teoría de anillos)

En matemáticas, más precisamente en el campo de la teoría de los anillos, el orden es un subanillo $𝒪$ de un anillo $A$, de manera que

1. $A$ es un anillo el cual es un álgebra de dimensión finita sobre el campo de los números racionales $\mathbb{Q}$
2. $𝒪$ engendra $A$ sobre $\mathbb{Q}$, para que $\mathbb{Q}𝒪=A$, y
3. $𝒪$ es un retículo $Z$ en $A$ (es decir, un ℤ-submódulo de tipo finito sin torsión).

Las últimas dos condiciones pueden explicarse en términos más informales: aditivamente, $𝒪$ es un grupo abeliano libre generado por una base para $A$ sobre $\mathbb{Q}$.

Más generalmente, para $R$, un dominio integral contenido en un campo $K$, definimos $𝒪$ para ser de $R$-orden en una $K$-álgebra $A$ si esta es un subanillo de $A$, la cual es una $R$-red completa.

Cuando $A$ no es un anillo conmutativo, la idea del orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son cuaterniones con coordenadas enteros. Los órdenes máximos existen, en general, pero se necesita que no sean únicos: en general no hay un orden más grande, sino un número de órdenes máximos. Una clase importante de ejemplos son los grupos de anillos integrales.

Algunos ejemplos son:

• Si $A$ es la matriz del anillo $M_n(K)$ sobre $K$, entonces la matriz del anillo $M_n(R)$ sobre $R$ es de $R$-orden en $A$.
• Si $R$ es un dominio integral y $L$ una extensión separable finita de $K$, entonces el cierra integral $S$ de $R$ en $L$ es de $R$-orden en $L$.
• Si $a$ en $A$ es un elemento integral sobre $R$, entonces el anillo de polinomios $R[a]$ es de $R$-orden en el álgebra $K[a]$.
• Si $A$ es el grupo del anillo $K[G]$ de un grupo finito $G$, entonces $R[G]$ es de $R$-orden en $K[G]$.

Una propiedad fundamental de los $R$-órdenes es que cada elemento de un $R$-orden es integral sobre $R$.

Si el cierre integral $S$ de $R$ en $A$ es un $R$-orden, entonces este resultado muestra que $S$ es el $R$-orden máximo en $A$. Sin embargo, este no es siempre el caso: en realidad, $S$ ni siquiera necesita ser un anillo, e incluso si lo es (por ejemplo, cuando $A$ es conmutativo), entonces $S$ no necesita ser una $R$-red.

Teoría de números algebraicos

El ejemplo principal es el caso donde $A$ es un cuerpo de números algebraicos $K$ y $𝒪$ es su anillo de enteros. En la teoría de números algebraicos hay ejemplos para cualquier $K$ esté o no en el campo racional de los subanillos del anillo de enteros apropiado que también son órdenes. Por ejemplo, en la extensión de campo $A=Q(i)$ de racionales gaussianos sobre $Q$, el cierre integral de $Z$ es el anillo de enteros gaussianos $Z[i]$, y así, es el $Z$-orden máximo único: todos los demás órdenes en $A$ están contenidos en él, por ejemplo, podemos tomar el subanillo de

$a+bi,$

para donde $b$ es un número par.

La teoría del orden máximo también puede ser examinada a campo local. Esta técnica es aplicada en la teoría de números algebraicos y la teoría de representación modular.

Véase también

• Orden cuaternión de Hurwitz - Un ejemplo de orden de anillos