Pentación

Los primeros tres valores de la expresión x[5]2. El valor de 3[5]2 es alrededor de 7.626 × 10¹²; los resultados para valores de x mayores son demasiado grandes para aparecer en la gráfica.

En matemáticas, la pentación es la hiperoperación que le sigue a la tetración y es anterior a la hexación. Se define como la iteración (repetición) de tetraciones, tal y como la tetración es la iteración de la potenciación. Es una operación binaria definida con dos números a y b, donde a es «tetrado» a sí mismo b veces. por ejemplo, usando la notación de hiperoperación para la pentación y tetración, $2[5]3$ quiere decir «tetrar» 2 a sí mismo 3 veces, o $2[4](2[4]2)$. Esto se puede después reducir a $2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536.$

Etimología

La palabra «pentación» fue acuñada por Reuben Goodstein en 1947 de las raíces penta- (cinco) e iteración. Es parte de su esquema general para nombrar a las hiperoperaciones.

Notación

No existe un consenso general para la notación de la pentación; por lo tanto existen varias maneras de escribir la operación. Sin embargo, unas se usan más que otras y existen distintas ventajas entre una y otra forma de uso.

• La pentación se puede escribir como una hiperoperación como $a[5]b$. En este formato, $a[3]b$ puede ser interpretado como el resultado de aplicar repetidamente la función $x\mapsto a[2]x$, por $b$ repeticiones, comenzando con el número 1. De forma análoga, $a[4]b$, la tetración, representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función $x\mapsto a[3]x$, por $b$ repeticiones, comenzando con el número 1, y la pentación $a[5]b$ representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función $x\mapsto a[4]x$, por $b$ repeticiones, comenzando con el número 1. Esta será la notación usada en el resto del artículo
• En la notación flecha de Knuth, $a[5]b$ se representa como $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ o $a{\uparrow }^{3}b$. En esta notación, $a\uparrow b$ representa a la función de potenciación $a^b$ y $a\uparrow \uparrow b$ representa a la tetración. La operación puede adaptar fácilmente la hexación añadiendo otra flecha.
• En la notación de cadena de Conway, $a[5]b=a\to b\to 3$.
• Otra notación propuesta es ${}_{b}a$, aunque esta no es extensible a hiperoperaciones de mayor orden.

Ejemplos

Los valores de la función de pentación también pueden ser obtenidos de los valores en la cuarta fila de valores en una variante de la función de Ackermann: si $A(n,m)$ se define como la recurrencia de Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ con las condiciones iniciales $A(1,n)=an$ y $A(m,1)=a$, entonces $a[5]b=A(4,b)$.

Como la tetración, su operación base, no ha sido extendida a alturas no-enteras, la pentación $a[5]b$ actualmente sólo está defnida para valores enteros de a y b donde $a>0$ y $b\ge -1$, y unos pocos valores enteros adicionales que podrían estar únicamente definidos. Como todas las hiperoperaciones de orden 3 y mayor, la pentación tiene los siguientes casos triviales (identidades) que son verdaderos para todos los valores de a y b en su dominio:

• $1[5]b=1$
• $a[5]1=a$

Adicionalmente, se puede definir:

• $a[5]0=1$
• $a[5](-1)=0$

Además de los casos triviales arriba expuestos, la pentación genera números extremadamente grandes muy rápidamente tal que sólo hay unos pocos casos no-triviales que producen números que pueden ser escritos en notación convencional, como se muestra a continuación:

• $2[5]2=2[4]2=2^2=4$
• $2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536$
• $2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}\text{ (una torre de exponentes de 65,536 números de altura) }\approx {\exp }_{10}^{65,533}(4.29508)$ (se muestra aquí en notación de exponentes iterados ya que es demasiado grande para ser escrito en notación convencional. Nótese que ${\exp }_{10}(n)=10^n$)
• $3[5]2=3[4]3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$
• $3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}\text{ (una torre de exponentes de 7,625,597,484,987 números de altura) }\approx {\exp }_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
• $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^4}}=4^{4^{256}}\approx {\exp }_{10}^3(2.19)$ (un número con más de $10^{153}$ dígitos)
• $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx {\exp }_{10}^4(3.33928)$ (un número con más de $10^{10^{2184}}$ dígitos)

Véase también

• Función de Ackermann
• Operadores de Bowers
• Número de Graham