Plano de Minkowski

En matemáticas, un plano de Minkowski (llamado así por el matemático alemán Hermann Minkowski (1864-1909)) es uno de los planos de Benz (los otros dos son el plano de Möbius y el plano de Laguerre).

Plano de Minkowski real clásico

Plano de Minkowski clásico: modelo 2d/3d

Aplicando la distancia pseudoeuclídea $d(P_1,P_2)=(x{\text{'}}_1-x{\text{'}}_2{)}^2-(y{\text{'}}_1-y{\text{'}}_2{)}^2$ a dos puntos $P_i=(x{\text{'}}_i,y{\text{'}}_i)$ (en lugar de la distancia euclídea), se obtiene la geometría de las hipérbolas, porque una circunferencia pseudoeuclídea $\{P\in {ℝ}^2\mid d(P,M)=r\}$ es una hipérbola con punto medio $M$.

Mediante una transformación de coordenadas $x_i=x{\text{'}}_i+y{\text{'}}_i$, $y_i=x{\text{'}}_i-y{\text{'}}_i$, la distancia pseudoeuclídea se puede reescribir como $d(P_1,P_2)=(x_1-x_2)(y_1-y_2)$. Las hipérbolas tienen entonces asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas denotados sin comilla (es decir, a x e y; y no a x' e y' ).

La siguiente completación (véase plano de Möbius y plano de Laguerre) homogeneiza la geometría de las hipérbolas:

• El conjunto de puntos:

$𝒫:={(ℝ\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\})}^2={ℝ}^2\cup (\left\{\mathrm{\infty }\right\}\times ℝ)\cup (ℝ\times \left\{\mathrm{\infty }\right\})\cup \left\{(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\right\},\mathrm{\infty }\notin ℝ,$

• El conjunto de ciclos:

$\begin{array}{cc}𝒵:=& \{\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y=ax+b\}\cup \left\{(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\right\}\mid a,b\in ℝ,a\ne 0\}\\ & \cup \{\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y=\frac{a}{x-b}+c,x\ne b\}\cup \{(b,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },c)\}\mid a,b,c\in ℝ,a\ne 0\}.\end{array}$

La estructura de incidencia $(𝒫,𝒵,\in )$ se llama plano de Minkowski real clásico.

El conjunto de puntos consta de ${ℝ}^2$, dos copias de $ℝ$ y el punto $(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

Cualquier línea recta $y=ax+b,a\ne 0$ se completa con el punto $(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$; y cualquier hipérbola $y=\frac{a}{x-b}+c,a\ne 0$ se completa con los dos puntos $(b,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },c)$ (véase la figura).

Dos puntos $(x_1,y_1)\ne (x_2,y_2)$ no pueden conectarse mediante un ciclo si y solo si $x_1=x_2$ o $y_1=y_2$.

Se define entonces:

• Dos puntos $P_1,P_2$ son (+)-paralelos ($P_1{\parallel }_{+}{P}_2$) si $x_1=x_2$ y (-)-paralelos ($P_1{\parallel }_{-}{P}_2$) si $y_1=y_2$.

Ambas son relaciones de equivalencia en el conjunto de puntos.

• Dos puntos $P_1,P_2$ se llaman paralelos ($P_1\parallel P_2$) si $P_1{\parallel }_{+}{P}_2$ o $P_1{\parallel }_{-}{P}_2$.

De la definición anterior, se deduce que:

Lema:

• Para cualquier par de puntos no paralelos $A,B$ existe exactamente un punto $C$ con $A{\parallel }_{+}C{\parallel }_{-}B$.
• Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ hay exactamente dos puntos $A,B\in z$ con $A{\parallel }_{+}P{\parallel }_{-}B$.
• Para tres puntos cualesquiera $A$, $B$, $C$, no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo $z$ que contiene $A,B,C$.
• Para cualquier ciclo $z$, cualquier punto $P\in z$ y cualquier punto $Q,P\parallel ̸Q$ y $Q\notin z$ existe exactamente un ciclo $z^{\prime }$ tal que $z\cap z^{\prime }=\{P\}$, es decir, $z$ toca a $z^{\prime }$ en el punto P.

Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de secciones planas de una cuádrica adecuada. Pero en este caso, la cuádrica se define en un espacio tridimensional 'proyectivo: el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide (cuádrica no degenerada de índice 2).

Axiomas de un plano de Minkowski

Sea $(𝒫,𝒵;{\parallel }_{+},{\parallel }_{-},\in )$ una estructura de incidencia con el conjunto $𝒫$ de puntos, el conjunto $𝒵$ de ciclos y dos relaciones de equivalencia ${\parallel }_{+}$ ((+)-paralela) y ${\parallel }_{-}$ ((-)-paralela) en el conjunto $𝒫$. Para $P\in 𝒫$, se define:

${\bar{P}}_{+}:=\{Q\in 𝒫\mid Q{\parallel }_{+}P\}$ y ${\bar{P}}_{-}:=\{Q\in 𝒫\mid Q{\parallel }_{-}P\}$.

Una clase de equivalencia ${\bar{P}}_{+}$ o ${\bar{P}}_{-}$ se denomina (+)-generador y (-)-generador, respectivamente (para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea sobre el hiperboloide).

Dos puntos $A,B$ se llaman paralelos ($A\parallel B$) si son $A{\parallel }_{+}B$ o $A{\parallel }_{-}B$.

Una estructura de incidencia $𝔐:=(𝒫,𝒵;{\parallel }_{+},{\parallel }_{-},\in )$ se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas:

Axiomas de Minkowski c1-c2

Axiomas de Minkowski c3-c4

• C1: Para cualquier par de puntos no paralelos $A,B$ existe exactamente un punto $C$ con $A{\parallel }_{+}C{\parallel }_{-}B$.
• C2: Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ existen exactamente dos puntos $A,B\in z$ con $A{\parallel }_{+}P{\parallel }_{-}B$.
• C3: Para tres puntos cualesquiera $A,B,C$, no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo $z$ que contiene $A,B,C$.
• C4: Para cualquier ciclo $z$, cualquier punto $P\in z$ y cualquier punto $Q,P\parallel ̸Q$ y $Q\notin z$ existe exactamente un ciclo $z^{\prime }$ tal que $z\cap z^{\prime }=\{P\}$, es decir, $z$ toca a $z^{\prime }$ en el punto $P$.
• C5: Cualquier ciclo contiene al menos 3 puntos. Existe al menos un ciclo $z$ y un punto $P$ que no está en $z$.

También se establecen otras declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1 y C2 respectivamente):

• C1': Para dos puntos cualesquiera $A,B$ se tiene que Plantilla:Nowrap
• C2': Para cualquier punto $P$ y cualquier ciclo $z$ se tiene que: Plantilla:Nowrap

Las primeras consecuencias de los axiomas son: Plantilla:Teorema

De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, se obtiene la conexión con la geometría del plano lineal a través de los residuos.

Para un plano de Minkowski $𝔐=(𝒫,𝒵;{\parallel }_{+},{\parallel }_{-},\in )$ y $P\in 𝒫$ se define la estructura local

${𝔄}_P:=(𝒫\setminus \bar{P},\{z\setminus \{\bar{P}\}\mid P\in z\in 𝒵\}\cup \{E\setminus \bar{P}\mid E\in ℰ\setminus \{{\bar{P}}_{+},{\bar{P}}_{-}\}\},\in )$, que se denomina residuo en el punto P.

Para el plano clásico de Minkowski, ${𝔄}_{(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}$ es el plano afín real ${ℝ}^2$.

Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.

Modelo mínimo

Plano de Minkowski: modelo mínimo

El modelo mínimo de un plano de Minkowski se puede establecer sobre el conjunto $\bar{K}:=\{0,1,\mathrm{\infty }\}$ de tres elementos:

$𝒫:=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{K}}$

$\begin{array}{cc}𝒵:& =\{\{(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)\}\mid \{a_1,a_2,a_3\}=\{b_1,b_2,b_3\}=\bar{K}\}\\ & =\{\{(0,0),(1,1),(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\},\{(0,0),(1,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },1)\},\\ & \{(0,1),(1,0),(\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\},\{(0,1),(1,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },0)\},\\ & \{(0,\mathrm{\infty }),(1,1),(\mathrm{\infty },0)\},\{(0,\mathrm{\infty }),(1,0),(\mathrm{\infty },1)\}\}\end{array}$

En cuanto a los puntos paralelos, se tiene que:

• $(x_1,y_1){\parallel }_{+}(x_2,y_2)$ si y solo si $x_1=x_2$
• $(x_1,y_1){\parallel }_{-}(x_2,y_2)$ si y solo si $y_1=y_2$.

De ahí que $\left|𝒫\right|=9$ y $\left|𝒵\right|=6$.

Planos finitos de Minkowski

Para planos de Minkowski finitos, se obtiene de C1′ y C2′:

Esto da lugar a la siguiente definición:

• Para un plano finito de Minkowski $𝔐$ y un ciclo $z$ de $𝔐$, el número entero $n=\left|z\right|-1$ se denomina el orden de $𝔐$.

Consideraciones combinatorias simples permiten deducir que:

Planos de Minkowski miquelianos

Los ejemplos más relevantes de planos de Minkowski se obtienen generalizando el modelo real clásico: simplemente, basta con reemplazar $ℝ$ por un cuerpo $K$ arbitrario y se obtiene en cualquier caso un plano de Minkowski $𝔐(K)=(𝒫,𝒵;{\parallel }_{+},{\parallel }_{-},\in )$.

De manera análoga a los planos de Möbius y de Laguerre, el teorema de Miquel es una propiedad característica de un plano de Minkowski $𝔐(K)$.

Teorema de Miquel

Teorema (Miquel):

• Para el plano de Minkowski $𝔐(K)$ se cumple lo siguiente:

Si para cualquier 8 puntos no paralelos dos a dos $P_1,...,P_8$ que se pueden asignar a los vértices de un cubo de manera que los puntos en 5 caras correspondan a cuadrupletes concíclicos, entonces el sexto cuadruplete de puntos también es concíclico (para una mejor visión general en la figura se han empleado circunferencias en lugar de hipérbolas).

Teorema (Chen):

• Solo un plano de Minkowski $𝔐(K)$ satisface el teorema de Miquel.

Debido a este último teorema, $𝔐(K)$ se denomina plano miqueliano de Minkowski.

Observación:

El modelo mínimo de un plano de Minkowski es miqueliano.

Es isomorfo al plano de Minkowski $𝔐(K)$ con $K=\mathrm{GF}(2)$ (campo $\{0,1\}$).

Un resultado sorprendente es que:

Teorema (Heise):

• Cualquier plano de Minkowski de orden par es miqueliano.

Observación:

Una proyección estereográfica adecuada muestra que $𝔐(K)$ es isomorfo a la geometría de las secciones planas en un hiperboloide de una hoja (cuádrica de índice 2) en el 3-espacio proyectivo sobre el campo $K$.

Observación:

Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (véase el enlace web que figura a continuación). Pero no existen planos ovoidales de Minkowski, a diferencia de lo que sucede con los planos de Möbius y de Laguerre, dado que cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es una cuádrica (véase conjunto cuadrático).

Véase también

• Geometría conforme

Bibliografía

• Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer
• Francis Buekenhout (editor) (1995) Manual de Incidence Geometry, Elsevier Plantilla:Isbn

Enlaces externos

• Plano de Benz en la Encyclopaedia of Mathematics
• Nota de conferencia Geometrías circulares planas, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski