Polígono cercano

Un polígono cercano denso con diámetro d = 2

En matemáticas, un polígono cercano es una geometría de incidencia introducida en 1980 por Ernest E. Shult y Arthur Yanushka, quienes demostraron la conexión existente entre los llamados sistemas de líneas tetraédricas cerradas en espacios euclídeos y una clase de geometrías punto-línea a las que llamaron polígonos cercanos. Estas estructuras amplían la noción de polígono generalizado, ya que cada 2n-gono generalizado es un 2n-gono cercano a un tipo particular. Los polígonos cercanos se estudiaron exhaustivamente en la década de 1980, y a principios de la de 1990 se demostró la conexión entre ellos y los espacios polares duales. Algunos grupos simples esporádicos, por ejemplo el grupo de Hall-Janko y el grupo de Mathieu, actúan como grupos de automorfismos de polígonos cercanos.

Definición

Un 2d-gono cercano es una estructura de incidencia ($P,L,I$), donde $P$ es el conjunto de puntos, $L$ es el conjunto de líneas y $I\subseteq P\times L$ es la relación de incidencia, tal que:

• La distancia máxima entre dos puntos (el llamado diámetro) es d.
• Para cada punto $x$ y cada línea $L$ existe un punto único en $L$ que es el más cercano a $x$.

Debe tenerse en cuenta que las distancias se miden según la colinealidad en el grafo de los puntos, es decir, el grafo formado tomando puntos como vértices y uniendo un par de vértices si inciden con una línea común.

También se puede dar una definición de grafo teórico alternativa, un 2d-gono cercano es un gráfico conexo de diámetro finito d con la propiedad de que para cada vértice x y cada agrupación máxima M existe un vértice único x' en M más cercano a x. Las agrupaciones máximas de dicho gráfico corresponden a las líneas en la definición de la estructura de incidencia. Un 0-gono cercano (d = 0) es un solo punto, mientras que un 2-gono cercano (d = 1) es solo una sola línea, es decir, un grafo completo. Un cuadrilátero cercano (d = 2) es lo mismo que un cuadrángulo generalizado (posiblemente degenerado). De hecho, se puede demostrar que cada 2d-gono generalizado es un 2d-gono cercano que satisface las dos condiciones adicionales siguientes:

• Cada punto incide con al menos dos líneas.
• Por cada dos puntos x e y a la distancia (i < d), existe un vecino único de y a la distancia i − 1 desde x.

Un polígono cercano se llama denso si cada línea incide con al menos tres puntos y si cada dos puntos a distancia dos tienen al menos dos vecinos comunes. Se dice que tiene orden (s, t) si cada línea incide precisamente con s + 1 puntos y cada punto incide precisamente con t + 1 líneas. Los polígonos cercanos densos tienen una rica teoría y varias clases de ellos (como los polígonos cercanos densos delgados) se han clasificado por completo.

Ejemplos

• Todos los grafos bipartitos conectados están cerca de polígonos. De hecho, cualquier polígono cercano que tenga exactamente dos puntos por línea debe ser un gráfico bipartito conectado.
• Todos los polígonos generalizados finitos excepto los planos proyectivos.
• Todos los espacios polares duales.
• El octógono cercano de Hall-Janko, también conocido como octógono cercano de Cohen-Tits asociado con el grupo de Hall-Janko. Se puede construir eligiendo el conjugado de 315 involuciones centrales del grupo de Hall-Janko como puntos y líneas como subconjuntos de tres elementos {x, y, xy} siempre que x e y conmuten.
• El hexágono cercano M₂₄ relacionado con el grupo de Mathieu M24 y el código binario de Golay extendido. Se construye tomando las 759 octadas (bloques) en el diseño de Witt S(5, 8, 24) correspondientes al código de Golay como puntos y un triplete de tres octadas disjuntas por pares como líneas.
• Tómense las particiones de {1, 2, ..., 2n + 2} en (n + 1) 2-subconjuntos como puntos y las (n − 1) particiones en 2-subconjuntos y un 4-subconjunto como líneas. Un punto es incidente a una recta si como partición es un refinamiento de la recta. Esto genera un 2n-gono cercano con tres puntos en cada línea, normalmente denotado como 'H_n. Su grupo de automorfismo completo es el grupo simétrico S_2n+2.

Polígonos cercanos regulares

Un $2d$-gono cercano finito S se llama regular si tiene un orden $(s,t)$ y si existen constantes $t_i,i\in \{1,\dots ,d\}$, de modo que por cada dos puntos $x$ e $y$ a distancia $i$, hay precisamente $t_i+1$ líneas que pasan por $y$ y contienen un punto (necesariamente único) a la distancia $i-1$ de $x$. Resulta que los $2d$-gonos regulares cercanos son precisamente aquellos cercanos a los $2d$-gonos cuyo gráfico de puntos (también conocido como grafo de colinealidad) es un grafo de distancia regular. Un $2d$-gono generalizado de orden $(s,t)$ es un $2d$-gono cercano regular con parámetros $t_1=0,t_2=0,\dots ,t_d=t$

Véase también

• Geometría finita
• Espacio polar

Bibliografía

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