Polinomio mínimo

En matemáticas, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio no dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.

Teoría de cuerpos

En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumpla f(α) = 0 es un múltiplo de p.

Álgebra lineal

Plantilla:AP En álgebra lineal, el polinomio mínimo de un endomorfismo $f$ de un espacio vectorial $E$ de dimensión finita sobre un cuerpo $𝕂$ es el único polinomio mónico ${\mu }_f(t)\in 𝕂[t]$ de grado mínimo que anula a $f$, es decir, tal que ${\mu }_f(f)=0$. Por extensión, dada una matriz $A\in {ℳ}_n(𝕂)$, definimos el polinomio mínimo de $A$ como el polinomio mínimo del endomorfismo que define la matriz $A$ en un espacio vectorial $E$ de dimensión $n$ (en cualquier base, pues el polinomio mínimo no depende de la elección de esta).

Cualquier otro polinomio $p\in 𝕂[t]$ con $p(f)=0$ es un múltiplo de ${\mu }_f$. Veamos la demostración de esto último, juntamente con que el polinomio mínimo es único:

Los siguientes tres enunciados son equivalentes:

1. $\lambda \in 𝕂$ es una raíz de $m_f(t)$,
2. $\lambda$ es una raíz del polinomio característico de $A$,
3. $\lambda$ es un valor propio de $A$.

La multiplicidad de la raíz $\lambda$ de $p(t)$ es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a $\lambda$.

El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz $4I_n$, que tiene como polinomio característico $(x-4{)}^n$. Sin embargo, el polinomio mínimo es $x-4$, ya que $4I-4I=0$, por lo que son distintos para $n\ge 2$. El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
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