Polinomios de Appell generalizados

En matemáticas, una serie polinómica $\{p_n(z)\}$ tiene una representación de Appell generalizada si la función generadora de los polinomios toma la forma:

$K(z,w)=A(w)\mathrm{\Psi }(zg(w))=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(z)w^n$

donde la función de generación o núcleo $K(z,w)$ se compone de la serie

$A(w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{w}^n$ con $a_0\ne 0$

y

$\mathrm{\Psi }(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Psi }}_n{t}^n$ y todos los ${\mathrm{\Psi }}_n\ne 0$

y

$g(w)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_n{w}^n$ con $g_1\ne 0.$

Dado lo anterior, no es difícil demostrar que $p_n(z)$ es un polinomio de grado $n$.

Los polinomios de Boas-Buck es una clase de polinomios un poco más general.

Casos especiales

• La elección de $g(w)=w$ da la clase de polinomios de Brenke.
• La elección de $\mathrm{\Psi }(t)=e^t$ da como resultado la serie de Sheffer de polinomios, que incluye los polinomios por diferencias generales, como la interpolación polinómica de Newton.
• La elección combinada de $g(w)=w$ y $\mathrm{\Psi }(t)=e^t$ da la serie de Appell de polinomios.

Representación explícita

Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita

$p_n(z)=\sum _{k=0}^n{z}^k{\mathrm{\Psi }}_k{h}_k.$

La constante es

$h_k=\sum _P{a}_{j_0}{g}_{j_1}{g}_{j_2}\cdots g_{j_k}$

donde esta suma se extiende sobre todas las particiones de $n$ en partes de $k+1$; es decir, la suma se extiende sobre todo $\{j\}$ de tal manera que

$j_0+j_1+\cdots +j_k=n.$

Para los polinomios de Appell, esto se convierte en la fórmula

$p_n(z)=\sum _{k=0}^n\frac{a_{n-k}{z}^k}{k!}.$

Relación de recursión

De manera equivalente, una condición necesaria y suficiente para que el núcleo $K(z,w)$ pueda escribirse como $A(w)\mathrm{\Psi }(zg(w))$ con $g_1=1$ es que

$\frac{\partial K(z,w)}{\partial w}=c(w)K(z,w)+\frac{zb(w)}{w}\frac{\partial K(z,w)}{\partial z}$

donde $b(w)$ y $c(w)$ tienen la serie de potencias

$b(w)=\frac{w}{g(w)}\frac{d}{dw}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{w}^n$

y

$c(w)=\frac{1}{A(w)}\frac{d}{dw}A(w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{w}^n.$

Sustituyendo

$K(z,w)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_n(z)w^n$

inmediatamente da la relación de recurrencia.

$z^{n+1}\frac{d}{dz}\left[\frac{p_n(z)}{z^n}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}{c}_{n-k-1}{p}_k(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}{b}_{n-k}\frac{d}{dz}{p}_k(z).$

Para el caso especial de los polinomios de Brenke, se tiene que $g(w)=w$ y, por lo tanto, todos los $b_n=0$, simplificando significativamente la relación de recursión.

Véase también

• Polinomio q-diferencial

Referencias

• Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Library of Congress Card Number 63-23263.
• William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
• W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.