Polinomios de Dickson

En matemáticas, los polinomios de Dickson, denotados como Plantilla:Math, forman una secuencia polinomial introducida porPlantilla:Harvtxt. Fueron redescubiertos porPlantilla:Harvtxt en su estudio de las sumas de Brewer y, en ocasiones, aunque raramente, también se los conoce como polinomios de Brewer.

Sobre los números complejos, los polinomios de Dickson son esencialmente equivalentes a los polinomios de Chebyshov con un cambio de variable, y, de hecho, los polinomios de Dickson a veces se denominan como polinomios de Chebyshov.

Generalmente se estudian sobre un cuerpo finito, donde a veces pueden no ser equivalentes a los polinomios de Chebyshov. Una de las principales razones de interés en estos polinomios es que para Plantilla:Math fijo, dan muchos ejemplos de polinomios de permutación; polinomios que actúan como permutaciones de campos finitos.

Definición

Primer tipo

Para Plantilla:Math entero y Plantilla:Mvar en un anillo conmutativo Plantilla:Mvar con identidad (a menudo elegido para ser el campo finito Plantilla:Math) los polinomios de Dickson (de primer tipo) sobre Plantilla:Mvar están dados por

$D_n(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\frac{n}{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{i})(-\alpha {)}^i{x}^{n-2i}.$

Los primeros polinomios de Dickson son

$\begin{array}{cc}{D}_1(x,\alpha )& =x\\ D_2(x,\alpha )& =x^2-2\alpha \\ D_3(x,\alpha )& =x^3-3x\alpha \\ D_4(x,\alpha )& =x^4-4x^2\alpha +2{\alpha }^2\\ D_5(x,\alpha )& =x^5-5x^3\alpha +5x{\alpha }^2.\end{array}$

También pueden ser generados por relación de recurrencia para Plantilla:Math,

$D_n(x,\alpha )=x{D}_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha ),$

con las condiciones iniciales Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Segundo tipo

Los polinomios de Dickson de segundo tipo, Plantilla:Math, están definidos por

$E_n(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{i})(-\alpha {)}^i{x}^{n-2i}.$

No se han estudiado mucho y tienen propiedades similares a las de los polinomios de Dickson de primer tipo. Los primeros polinomios de Dickson de segundo tipo son

$\begin{array}{cc}{E}_0(x,\alpha )& =1\\ E_1(x,\alpha )& =x\\ E_2(x,\alpha )& =x^2-\alpha \\ E_3(x,\alpha )& =x^3-2x\alpha \\ E_4(x,\alpha )& =x^4-3x^2\alpha +{\alpha }^2.\end{array}$

También pueden ser generados por la relación de recurrencia para Plantilla:Math,

$E_n(x,\alpha )=x{E}_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha ),$

con las condiciones iniciales Plantilla:Math y Plantilla:Math.

Propiedades

Los Plantilla:Math son los únicos polinomios monónicos que satisfacen la ecuación funcional

$D_n(u+\frac{\alpha }{u},\alpha )=u^n+{\left(\frac{\alpha }{u}\right)}^n,$

donde Plantilla:Math y Plantilla:Math.

También satisfacen una regla de composición,

$D_{mn}(x,\alpha )=D_m(D_n(x,\alpha ),{\alpha }^n)=D_n(D_m(x,\alpha ),{\alpha }^m).$

Plantilla:Math también satisface una ecuación funcional

$E_n(y+\frac{\alpha }{y},\alpha )=\frac{y^{n+1}-{\left(\frac{\alpha }{y}\right)}^{n+1}}{y-\frac{\alpha }{y}},$

para Plantilla:Math, Plantilla:Math, con Plantilla:Math y Plantilla:Math.

El polinomio de Dickson Plantilla:Math es una solución de la ecuación diferencial ordinaria

$(x^2-4\alpha )y^{″}+x{y}^{\prime }-n^{2}y=0,$

y el polinomio de Dickson Plantilla:Math es una solución de la ecuación diferencial

$(x^2-4\alpha )y^{″}+3x{y}^{\prime }-n(n+2)y=0.$

Sus funciones generadoras ordinarias son

$\begin{array}{cc}\sum _n{D}_n(x,\alpha )z^n& =\frac{2-xz}{1-xz+\alpha z^2}\\ \sum _n{E}_n(x,\alpha )z^n& =\frac{1}{1-xz+\alpha z^2}.\end{array}$

Enlaces a otros polinomios

Por la relación de recurrencia anterior, los polinomios de Dickson son sucesiones de Lucas. Específicamente, para Plantilla:Math, los polinomios de Dickson de primer tipo son polinomios de Fibonacci, y los polinomios de Dickson de segundo tipo son polinomios de Lucas.

Por la regla de composición anterior, cuando α es idempotente, la composición de los polinomios de Dickson del primer tipo es conmutativa.

• Los polinomios de Dickson con el parámetro Plantilla:Math dan monomios

$D_n(x,0)=x^n.$

• Los polinomios de Dickson con el parámetro Plantilla:Math están relacionados con los polinomios de Chebyshov Plantilla:Math de primer tipo de

$D_n(2x,1)=2T_n(x).$

• Dado que el polinomio de Dickson Plantilla:Math se puede definir sobre anillos con idempotencias adicionales, Plantilla:Math a menudo no está relacionado con un polinomio de Chebyshov.

Polinomios de permutación y polinomios de Dickson

Un polinomio de permutación (para un campo finito dado) es uno que actúa como una permutación de los elementos del campo finito.

El polinomio de Dickson Plantilla:Math (considerado como una función de Plantilla:Math con α fijo) es un polinomio de permutación para el campo con elementos de Plantilla:Math si y solo si Plantilla:Math es coprimo con respecto a Plantilla:Math.

Plantilla:Harvtxt demostró que cualquier polinomio integral que sea un polinomio de permutación para infinitos campos principales es una composición de polinomios de Dickson y de polinomios lineales (con coeficientes racionales). Esta afirmación se conoce como la conjetura de Schur, aunque en realidad Schur no hizo esta conjetura. Dado que el artículo de Fried contenía numerosos errores,Plantilla:Harvtxt proporcionó una redacción corregida, y posteriormentePlantilla:Harvtxt dio una prueba más simple en la línea de un argumento debido a Schur.

Además,Plantilla:Harvtxt demostró que cualquier polinomio de permutación sobre el campo finito Plantilla:Math cuyo grado es simultáneo a Plantilla:Math y menor que Plantilla:Math debe ser una composición de polinomios de Dickson y de polinomios lineales.

Generalización

Los polinomios de Dickson de ambos tipos sobre campos finitos se pueden considerar como miembros iniciales de una secuencia de polinomios de Dickson generalizados conocidos como polinomios de Dickson de tipo Plantilla:Mathth. Específicamente, para Plantilla:Math con Plantilla:Math para algunos Plantilla:Mvar primarios y cualquier número entero Plantilla:Math y Plantilla:Math, el 'Plantilla:Mvar polinomio de Dickson del tipo Plantilla:Mathth' sobre Plantilla:Math, denotado por Plantilla:Math, se define mediante

$D_{0,k}(x,\alpha )=2-k$

y

$D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }\frac{n-ki}{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{i})(-\alpha {)}^i{x}^{n-2i}.$

Plantilla:Math y Plantilla:Math, mostrando que esta definición unifica y generaliza los polinomios originales de Dickson.

Las propiedades significativas de los polinomios de Dickson también se generalizan:

• Relación de recurrencia: para Plantilla:Math,

$D_{n,k}(x,\alpha )=x{D}_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha ),$

con las condiciones iniciales Plantilla:Math y Plantilla:Math.

• Ecuación funcional:

$D_{n,k}(y+\alpha y^{-1},\alpha )=\frac{y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k{\alpha }^{n-1}{y}^2+{\alpha }^n}{y^n}=\frac{y^{2n}+{\alpha }^n}{y^n}+\left(\frac{k\alpha }{y^n}\right)\frac{y^{2n}-{\alpha }^{n-1}{y}^2}{y^2-\alpha },$

donde Plantilla:Math, Plantilla:Math.

• Función generadora:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{n,k}(x,\alpha )z^n=\frac{2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^2}.$

Bibliografía

• Plantilla:Citation
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• Plantilla:Cite book
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