Polinomios secundarios

En matemáticas, los polinomios secundarios $\{q_n(x)\}$ asociados con una sucesión matemática $\{p_n(x)\}$ de polinomios ortogonales con respecto a una densidad $\rho (x)$ se definen por

$q_n(x)=\underset{ℝ}{\int }\frac{p_n(t)-p_n(x)}{t-x}\rho (t)dt.$

Para ver que las funciones $q_n(x)$ son polinomios, considérese el ejemplo simple de $p_0(x)=x^3.$. Entonces,

$\begin{array}{cc}{q}_0(x)& =\underset{ℝ}{\int }\frac{t^3-x^3}{t-x}\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }\frac{(t-x)(t^2+tx+x^2)}{t-x}\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }(t^2+tx+x^2)\rho (t)dt\\ & =\underset{ℝ}{\int }{t}^2\rho (t)dt+x\underset{ℝ}{\int }t\rho (t)dt+x^2\underset{ℝ}{\int }\rho (t)dt\end{array}$

que es un polinomio en $x$ tal que las tres integrales en $t$ (los momentos de la densidad $\rho$) sean convergentes.

Véase también

• Medida secundaria