Potencia perfecta

Demostración con las regletas de Cuisenaire de la naturaleza de potencias perfectas de 4, 8 y 9

En matemáticas, una potencia perfecta es un número natural que es producto de factores naturales iguales, o dicho de otro modo, un número entero que se puede expresar como un cuadrado o como una potencia entera mayor que uno. Más formalmente, n es una potencia perfecta si existen dos números naturales m > 1, y k > 1 tales que m^k = n. En este caso, n puede llamarse k-ésima potencia perfecta. Si k = 2 o k = 3, entonces n se llama cuadrado perfecto o cubo, respectivamente. A veces, 0 y 1 también se consideran potencias perfectas (0^k = 0 para cualquier k > 0, 1^k = 1 para cualquier k).

Ejemplos y sumas

Se puede generar una sucesión de potencias perfectas iterando a través de los valores posibles para m y k. Las primeras potencias perfectas ascendentes en orden numérico (mostrando potencias duplicadas) son Plantilla:OEIS:

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,$ $2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots$

La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (incluyendo duplicados como 3⁴ y 9², ambos iguales a 81) es 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=1.$

lo que se puede demostrar de la siguiente manera:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-1}\right)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m(m-1)}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=1.$

Las primeras potencias perfectas sin duplicados son:

(a veces 0 y 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... Plantilla:OEIS

La suma de los recíprocos de las potencias perfectas p sin duplicados es:

$\sum _p\frac{1}{p}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

donde μ(k) es la función de Möbius y ζ(k) es la función zeta de Riemann.

Según Euler, Goldbach mostró (en una carta ahora perdida) que la suma de Plantilla:Sfrac sobre el conjunto de potencias perfectas p, excluyendo 1 y excluyendo duplicados, es 1:

$\sum _p\frac{1}{p-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1.$

Esto a veces se conoce como el teorema de Goldbach-Euler.

Detección de potencias perfectas

Detectar si un número natural n dado es o no una potencia perfecta se puede lograr de muchas maneras diferentes, con niveles variables de complejidad. Uno de los métodos más simples es considerar todos los valores posibles para k en cada uno de los divisores de n, hasta $k\le {\log }_{2}n$. Entonces, si los divisores de $n$ son $n_1,n_2,\dots ,n_j$, entonces uno de los valores $n_1^2,n_2^2,\dots ,n_j^2,n_1^3,n_2^3,\dots$ debe ser igual a n si n es una potencia perfecta.

Este método se puede simplificar de inmediato considerando en su lugar solo los valores primos de k. Esto se debe a que si $n=m^k$ para un número compuesto $k=ap$ donde p es primo, entonces esto se puede reescribir simplemente como $n=m^k=m^{ap}=(m^a{)}^p$. Debido a este resultado, el valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.

Si se conoce la factorización completa de n, descrita como $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$ donde los $p_i$ son primos distintos, entonces n es una potencia perfecta si y solo si $\text{mcd}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r)>1$, donde mcd denota el máximo común divisor. Como ejemplo, considérese n= 2⁹⁶·3⁶⁰·7²⁴. Como el mcd(96, 60, 24)= 12, n es una potencia perfecta de 12 (y una potencia perfecta de 6, 4, cúbica y cuadrada, ya que 6, 4, 3 y 2 dividen a 12).

Brechas entre potencias perfectas

En 2002, el matemático rumano Preda Mihăilescu demostró que el único par de potencias perfectas consecutivas es 2³= 8 y 3²= 9, demostrando así la conjetura de Catalan.

La conjetura de Pillai establece que para cualquier número entero positivo k dado, solo hay un número finito de pares de potencias perfectas cuya diferencia es k. Este es un problema sin resolver.

Véase también

• Potencia prima

Referencias

• Plantilla:Cite journal

Enlaces externos

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)