Potencial retardado

En electrodinámica, los potenciales retardados son potenciales electromagnéticos para el campo electromagnético generado por una corriente eléctrica o una distribución de carga en el pasado que varían en el tiempo. Los campos se propagan a la velocidad de la luz c, de modo que la relación causa-efecto que conecta a los campos a tiempos anteriores y posteriores es un factor importante. La señal requiere de un tiempo finito para propagarse desde un punto en la distribución de carga o la corriente (el punto de causa) hasta otro punto en el espacio (en donde se mide el efecto).

Potenciales en el gauge de Lorenz

Vectores de posición r y r′ usados en el cálculo.

Iniciamos de la formulación en potenciales de las ecuaciones de Maxwell usando el gauge de Lorenz:

$◻\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0},◻𝐀=-{\mu }_0𝐉$

donde φ(r,t) es el potencial eléctrico y A(r,t) es el potencial vectorial electromagnético, para una fuente arbitraria de densidad de carga ρ(r,t) y una densidad de corriente J(r,t), mientras que $◻$ es el operador de D'Alembert. Al resolver estas ecuaciones se obtienen los potenciales retardados.

Potenciales retardados y adelantados para campos dependientes del tiempo

Para el caso de campos que dependen del tiempo, los potenciales retardados son:

$\mathrm{\phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }.$

donde r es un punto en el espacio, t es el tiempo,

$t_r=t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$

es el tiempo retardado y d³r' indica que la integración se realiza sobre todo el espacio.

A partir de φ(r,t) y A(r,t), los campos E(r,t) y B(r,t) pueden calcularse usando la definición de los potenciales:

$-𝐄=\mathrm{\nabla }\phi +\frac{\partial 𝐀}{\partial t},𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

Esto conduce a las ecuaciones de Jefimenko. Los potenciales adelantados correspondientes tienen una forma idéntica, a excepción de que el tiempo adelantado,

$t_a=t+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c},$

reemplaza al tiempo retardado.

Comparación con potenciales estáticos para campos que dependen del tiempo

En el caso de que los campos no dependan del tiempo (campos electrostáticos y magnetostáticos) las derivadas con respecto al tiempo en los operadores $◻$ son cero, y las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0},{\mathrm{\nabla }}^2𝐀=-{\mu }_0𝐉,$

donde ∇² es el operador laplaciano, que toma la forma de la ecuación de Poisson en cuatro componentes (una para φ y tres para A). En este caso las soluciones son:

$\mathrm{\phi }(𝐫)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime },$

$𝐀(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }.$

Estas se obtienen también directamente de los potenciales retardados.

Potenciales en el gauge de Coulomb

En el gauge de Coulomb, las ecuaciones de Maxwell son:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝐉+\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right),$

aunque las soluciones contrastan con las de arriba, puesto que A es un potencial retardado, aun así φ cambia instantáneamente, dado por:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\times \int {\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\underset{0}{\overset{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|/c}{\int }}\mathrm{d}{t}_r\frac{t_r𝐉({𝐫}^{\prime },t-t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}\times (𝐫-{𝐫}^{\prime }).$

Esto presenta una ventaja y una desventaja del gauge de Coulomb: φ es calculable fácilmente a partir de la distribución de carga ρ, pero A no se calcula tan sencillamente a partir de la distribución de corriente J. Sin embargo, debido a que necesitamos que los potenciales se anulen en infinito, pueden expresarse en términos de los campos:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄(r^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\times 𝐁(r^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

Aplicación

Una teoría de muchos cuerpos que incluye un promedio de los potenciales de Liénard-Wiechert retardados y adelantados es la teoría del absorbedor de Wheeler-Feynman, que también se conoce como teoría de Wheeler-Feynman simétrica en el tiempo.

Referencias

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro

Véase también

• Tiempo retardado.
• Potenciales de Liénard-Wiechert.